Encontre a transformada inversa pedida.
1.24. \mathscr{L}^{-1}\left{\frac{4 s}{4 s^{2}+1}\right}

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de . Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Precisamos entender um pouco sobre as propriedades da transformada inversa para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que queremos transformar. Olha só:
Podemos fatorar o 4 do denominador para facilitar:

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa forma se parece com uma das fórmulas padrão da Transformada de Laplace inversa. Especificamente, sabemos que:
Aqui, . Isso significa que estamos lidando com uma função cosseno.

Passo 4

Aplicando a fórmula acima com , temos:

Resposta

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Dê o domínio das funções:
Resolva as equações:
Determine o seno e o cosseno de:
Calcule o valor das expressões: