Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções f:[0,+infinito) -> R a seguir:
f(t) = senh(a t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função . Isso envolve conhecimentos de Transformada de Laplace e funções hiperbólicas. Vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada e conhecer um pouquinho sobre a função seno hiperbólico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais. A fórmula da Transformada de Laplace de uma função é:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a função seno hiperbólico. A função é definida como:
Essa definição vai nos ajudar a simplificar a transformação.

Passo 4

Vamos aplicar a definição da Transformada de Laplace na nossa função :
Substituindo a definição de :

Passo 5

Vamos separar a integral:
Simplificando os expoentes:

Passo 6

Agora, resolvemos as integrais. A integral de de 0 a é para :
Substituindo de volta:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando por :

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Resolva o problema de valor inicial através de uma série de potências.
y'' - x * y' - y = 0; y(0) = 2; y'(0) = 1
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções f:[0,+infinito) -> R a seguir:
f(t) = t^n e^(a t), n é um número natural.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(a) y' + 2y = x