Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções
a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
. Isso envolve conhecimentos de Transformada de Laplace e funções hiperbólicas. Vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada e conhecer um pouquinho sobre a função seno hiperbólico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função no domínio do tempo
para o domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais. A fórmula da Transformada de Laplace de uma função
é:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a função seno hiperbólico. A função
é definida como:
Essa definição vai nos ajudar a simplificar a transformação.
Passo 4
Vamos aplicar a definição da Transformada de Laplace na nossa função
:
Substituindo a definição de
:
Passo 5
Vamos separar a integral:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Agora, resolvemos as integrais. A integral de
de 0 a
é
para
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando por
:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: