Resolva o problema de valor inicial através de uma série de potências.
y'' - x * y' - y = 0; y(0) = 2; y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando uma série de potências. O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar usar a técnica de séries de potências, que é quando a gente assume que a solução pode ser escrita como uma soma infinita de potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Essas derivadas vão ser usadas na nossa equação diferencial.

Passo 4

Substituindo , e na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de .

Passo 5

Após ajustar os índices e reunir os termos semelhantes, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes :
Isso nos permite calcular cada em função dos anteriores.

Passo 6

Usando as condições iniciais e , temos:
Agora, podemos usar a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes.

Passo 7

Aplicando a relação de recorrência:
E assim por diante para os próximos termos.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada pela série de potências:
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência:

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y'' + 2y' + y = 4e^(-t), y(0) = 2, y'(0) = -1
Resolva o problema de valor inicial através de uma série de potências.
(1-x) y'' + x y' - y = 0; y(0) = -3; y'(0) = 2
Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções f:[0,+infinito) -> R a seguir:
f(t) = senh(a t).