Resolva o problema de valor inicial através de uma série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando uma série de potências. O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar usar a técnica de séries de potências, que é quando a gente assume que a solução pode ser escrita como uma soma infinita de potências de .
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de :
Essas derivadas vão ser usadas na nossa equação diferencial.
Passo 4
Substituindo , e na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de .
Passo 5
Após ajustar os índices e reunir os termos semelhantes, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes :
Isso nos permite calcular cada em função dos anteriores.
Passo 6
Usando as condições iniciais e , temos:
Agora, podemos usar a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes.
Passo 7
Aplicando a relação de recorrência:
E assim por diante para os próximos termos.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é dada pela série de potências:
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência: