Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A definição é dada por:
No nosso caso, , então substituímos na integral:
Agora, para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Ao avaliar os limites, o primeiro termo tende a zero quando vai para infinito e também é zero quando . Restando:
Essa integral é uma transformada de Laplace básica que sabemos que é . Então, substituindo de volta: