Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A definição é dada por:
No nosso caso, , então substituímos na integral:
Agora, para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Ao avaliar os limites, o primeiro termo tende a zero quando vai para infinito e também é zero quando . Restando:
Essa integral é uma transformada de Laplace básica que sabemos que é . Então, substituindo de volta:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Uma função é convexa se, para todo e . Mostre que a condição de convexidade é equivalente a para quaisquer . Dica: Tome e . Note que, neste caso, .
Seja uma função diferenciável, mostre que: Se então é monótona estritamente crescente no , em particular existe uma função inversa ;
Converta os números abaixo descritos na base decimal para a base binária.
a) 654
Converta os números abaixo descritos na base binária para a base decimal.
a) 0,111011