Seja
uma função diferenciável, mostre que: Se
então
é monótona estritamente crescente no
, em particular existe uma função inversa
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função diferenciável
e precisamos mostrar que se a derivada
é maior que zero em todo o intervalo
, então a função
é estritamente crescente nesse intervalo. Além disso, vamos ver que existe uma função inversa
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre o comportamento das derivadas e funções monotônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a derivada
. A derivada de uma função em um ponto nos informa a inclinação da tangente à curva nesse ponto. Se
, isso quer dizer que a função está subindo naquele ponto. Se isso acontece em todo o intervalo
, significa que a função está sempre aumentando à medida que avançamos de
para
.
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com a ideia de função monótona. Uma função é chamada de monótona crescente se, para quaisquer dois pontos
e
no intervalo
com
, temos
. Já que a derivada é sempre positiva, isso garante que a função nunca diminui; ela sempre cresce conforme
aumenta.
Passo 4
Para formalizar, vamos supor que temos dois pontos
e
em
com
. Pelo Teorema do Valor Médio, existe um ponto
entre
e
tal que:
Como
e
, a diferença
também é positiva. Ou seja,
. Isso confirma que a função é estritamente crescente em todo o intervalo.
Passo 5
Agora que sabemos que
é estritamente crescente, podemos falar sobre a existência da função inversa
. Uma função tem inversa se e somente se ela é bijetora, ou seja, é injetora (não há dois pontos diferentes que mapeiam para o mesmo valor) e sobrejetora (cobre todo o conjunto alvo).
Como
é estritamente crescente, ela é automaticamente injetora, pois valores diferentes de
sempre resultam em valores diferentes de
. Além disso, se
mapeia todo o intervalo
para
, ela também �� sobrejetora. Portanto, a função inversa
existe.
Resposta
Então, mostramos que se
em
, a função
é estritamente crescente nesse intervalo e, consequentemente, existe uma função inversa
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função
vezes diferenciável tal que
é continua em
para
. Suponha
par,
, para
, e
, então
é um mínimo local para
. Dica: use a fórmula de Taylor de ordem
para
com
.
Seja
uma função diferenciável, mostre que:
é convexa se, e somente se,
é monótona crescente no
; Dica: Usando a convexidade, tome
e a terna
e faça
. Depois tome a terna
e faça
. Conclua que
. Para a volta use o teorema do valor médio.
Uma função
é convexa se,
para todo
e
. Mostre que a condição de convexidade é equivalente a
para quaisquer
. Dica: Tome
e
. Note que, neste caso,
.
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir: