Seja uma função diferenciável, mostre que: Se então é monótona estritamente crescente no , em particular existe uma função inversa ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função diferenciável e precisamos mostrar que se a derivada é maior que zero em todo o intervalo , então a função é estritamente crescente nesse intervalo. Além disso, vamos ver que existe uma função inversa . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre o comportamento das derivadas e funções monotônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a derivada . A derivada de uma função em um ponto nos informa a inclinação da tangente à curva nesse ponto. Se , isso quer dizer que a função está subindo naquele ponto. Se isso acontece em todo o intervalo , significa que a função está sempre aumentando à medida que avançamos de para .

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com a ideia de função monótona. Uma função é chamada de monótona crescente se, para quaisquer dois pontos e no intervalo com , temos . Já que a derivada é sempre positiva, isso garante que a função nunca diminui; ela sempre cresce conforme aumenta.

Passo 4

Para formalizar, vamos supor que temos dois pontos e em com . Pelo Teorema do Valor Médio, existe um ponto entre e tal que:
Como e , a diferença também é positiva. Ou seja, . Isso confirma que a função é estritamente crescente em todo o intervalo.

Passo 5

Agora que sabemos que é estritamente crescente, podemos falar sobre a existência da função inversa . Uma função tem inversa se e somente se ela é bijetora, ou seja, é injetora (não há dois pontos diferentes que mapeiam para o mesmo valor) e sobrejetora (cobre todo o conjunto alvo).
Como é estritamente crescente, ela é automaticamente injetora, pois valores diferentes de sempre resultam em valores diferentes de . Além disso, se mapeia todo o intervalo para , ela também �� sobrejetora. Portanto, a função inversa existe.

Resposta

Então, mostramos que se em , a função é estritamente crescente nesse intervalo e, consequentemente, existe uma função inversa .

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Seja uma função vezes diferenciável tal que é continua em para . Suponha par, , para , e , então é um mínimo local para . Dica: use a fórmula de Taylor de ordem para com .
Seja uma função diferenciável, mostre que: é convexa se, e somente se, é monótona crescente no ; Dica: Usando a convexidade, tome e a terna e faça . Depois tome a terna e faça . Conclua que . Para a volta use o teorema do valor médio.
Uma função é convexa se, para todo e . Mostre que a condição de convexidade é equivalente a para quaisquer . Dica: Tome e . Note que, neste caso, .
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir: