Uma função
é convexa se,
para todo
e
. Mostre que a condição de convexidade é equivalente a
para quaisquer
. Dica: Tome
e
. Note que, neste caso,
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
que é convexa se, para todo
no intervalo
e para todo
entre 0 e 1, a seguinte desigualdade vale:
O exercício quer que a gente mostre que essa condição de convexidade é equivalente a:
para quaisquer
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser convexa e como relacionar essas duas condições. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função convexa. Imagine que você tem um gráfico da função
. Se você pegar qualquer dois pontos nesse gráfico e desenhar a linha que os conecta, a função é convexa se essa linha estiver sempre acima ou tocando o gráfico da função. Isso significa que a função “curva para cima”.
Matematicamente, isso é representado pela desigualdade que vimos no Passo 1. Agora, vamos usar a dica que o exercício deu para relacionar essa definição com a condição dos coeficientes angulares.
Passo 3
Vamos seguir a dica e definir:
Além disso, temos que:
Como
,
está no intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes angulares das secantes entre
,
e
:
e
A condição que queremos provar é que o primeiro quociente é menor ou igual ao segundo.
Passo 5
Vamos usar a definição de convexidade. Substituindo
na desigualdade da convexidade, temos:
Rearranjando essa desigualdade:
Passo 6
Lembrando que
, podemos substituir na desigualdade:
Dividindo ambos os lados por
e
, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que a condição de convexidade
satisfaz a desigualdade:
para quaisquer
, provando assim a equivalência requerida.
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável, mostre que: Se
então
é monótona estritamente crescente no
, em particular existe uma função inversa
;
Seja
uma função
vezes diferenciável tal que
é continua em
para
. Suponha
par,
, para
, e
, então
é um mínimo local para
. Dica: use a fórmula de Taylor de ordem
para
com
.
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:
Converta os números abaixo descritos na base decimal para a base binária.
a) 654
a) 654