Uma função f: [a, b] -> R é convexa se, f((1-alpha)x + alpha y) <= (1-alpha)f(x) + alpha f(y) para todo x, y pertencem a [a, b] e alpha in [0, 1]. Mostre que a condição de convexidade é equivalente a (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) <= (f(x3) - f(x2)) / (x3 - x2) para quaisquer x1 < x2 < x3. Dica: Tome x1 = x, x2 = (1 - alpha) * x + alpha * y e x3 = y. Note que, neste caso, α = (x2 - x1) / (x3 - x1) ∈ (0, 1).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que é convexa se, para todo no intervalo e para todo entre 0 e 1, a seguinte desigualdade vale:
O exercício quer que a gente mostre que essa condição de convexidade é equivalente a:
para quaisquer . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser convexa e como relacionar essas duas condições. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função convexa. Imagine que você tem um gráfico da função . Se você pegar qualquer dois pontos nesse gráfico e desenhar a linha que os conecta, a função é convexa se essa linha estiver sempre acima ou tocando o gráfico da função. Isso significa que a função “curva para cima”.
Matematicamente, isso é representado pela desigualdade que vimos no Passo 1. Agora, vamos usar a dica que o exercício deu para relacionar essa definição com a condição dos coeficientes angulares.

Passo 3

Vamos seguir a dica e definir:
Além disso, temos que:
Como , está no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes angulares das secantes entre , e :
e
A condição que queremos provar é que o primeiro quociente é menor ou igual ao segundo.

Passo 5

Vamos usar a definição de convexidade. Substituindo na desigualdade da convexidade, temos:
Rearranjando essa desigualdade:

Passo 6

Lembrando que , podemos substituir na desigualdade:
Dividindo ambos os lados por e , temos:

Resposta

Portanto, mostramos que a condição de convexidade satisfaz a desigualdade:
para quaisquer , provando assim a equivalência requerida.

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