Encontre a transformada de Laplace da função dada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
que é definida de forma periódica. Especificamente,
vale 1 entre
e
, e 0 entre
e
, repetindo esse padrão a cada 2 unidades de tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de função periódica e a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa função ser periódica. Uma função periódica com período
repete seu comportamento a cada intervalo de
. No nosso caso,
, então o período
é 2. Isso significa que o padrão de
entre 0 e 2 se repete para todos os valores de
.
Passo 3
A transformada de Laplace de uma função periódica pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui,
é o período da função, que no nosso caso é 2.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para a nossa função
. Primeiro, sabemos que
para
e
para
. Então, a integral fica:
A segunda integral é zero porque
nesse intervalo.
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: