Encontre a transformada de Laplace da função dada.
29. f(t) = { 1, 0 <= t < 1; 0, 1 <= t < 2 }
f(t+2) = f(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função que é definida de forma periódica. Especificamente, vale 1 entre e , e 0 entre e , repetindo esse padrão a cada 2 unidades de tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de função periódica e a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa função ser periódica. Uma função periódica com período repete seu comportamento a cada intervalo de . No nosso caso, , então o período é 2. Isso significa que o padrão de entre 0 e 2 se repete para todos os valores de .

Passo 3

A transformada de Laplace de uma função periódica pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, é o período da função, que no nosso caso é 2.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para a nossa função . Primeiro, sabemos que para e para . Então, a integral fica:
A segunda integral é zero porque nesse intervalo.

Passo 5

Calculando a primeira integral:

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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