Mostre que:
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual a 0. Aqui, estamos trabalhando com limites, uma parte fundamental do cálculo que estuda o comportamento de funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e como avaliar limites envolvendo multiplicação de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão
. Sabemos que:
-
é uma função polinomial que, quanto mais perto de 0, fica muito pequena, já que tende a 0 quando tende a 0. -
é uma função periódica que oscila entre -1 e 1 para todo valor de diferente de 0.
Passo 3
Agora, vamos utilizar uma propriedade importante dos limites: se temos uma função que está sendo multiplicada por outra que tende a 0, e a primeira função está limitada, então o produto tende a 0. Matemáticamente, se
e
, então
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso:
- Sabemos que
para todo . - E
.
Passo 5
Portanto, como
está limitado por 1 e
tende a 0, o produto
também tende a 0 quando
se aproxima de 0.
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique se as funções abaixo possuem assíntota horizontal.
a) .
a)
Seja
igual a um inteiro positivo
em (a); mostre que
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
29.
.
29.
Verifique se as funções abaixo possuem assíntota horizontal.
b) .
b)