Mostre que:
a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0. Aqui, estamos trabalhando com limites, uma parte fundamental do cálculo que estuda o comportamento de funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e como avaliar limites envolvendo multiplicação de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão . Sabemos que:
  • é uma função polinomial que, quanto mais perto de 0, fica muito pequena, já que tende a 0 quando tende a 0.
  • é uma função periódica que oscila entre -1 e 1 para todo valor de diferente de 0.

Passo 3

Agora, vamos utilizar uma propriedade importante dos limites: se temos uma função que está sendo multiplicada por outra que tende a 0, e a primeira função está limitada, então o produto tende a 0. Matemáticamente, se e , então .

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
  • Sabemos que para todo .
  • E .

Passo 5

Portanto, como está limitado por 1 e tende a 0, o produto também tende a 0 quando se aproxima de 0.

Resposta

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo possuem assíntota horizontal.
a) .
Seja igual a um inteiro positivo em (a); mostre que
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
29.
.
Verifique se as funções abaixo possuem assíntota horizontal.
b) .