Verifique se as funções abaixo possuem assíntota horizontal.
a)
.
a)
Passo 1
Vamos verificar se a função
possui uma assíntota horizontal. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de assíntotas horizontais em funções racionais, que nos ajudam a entender o comportamento da função quando
cresce muito (tende ao infinito positivo ou negativo).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma assíntota horizontal. Assíntota horizontal é uma linha horizontal que a função se aproxima à medida que
tende ao infinito positivo ou negativo. Matematicamente, isso significa calcular os limites de
quando
tende a
e
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende a
:
Para resolver isso, dividimos o numerador e o denominador pelo maior termo de
, que aqui é
:
À medida que
tende ao infinito,
tende a 0. Então:
Portanto,
.
Passo 4
Agora, calculamos o limite de
quando
tende a
:
Usando o mesmo método, dividimos por
:
Como
tende a
,
também tende a 0:
Portanto,
.
Passo 5
Os dois limites calculados nos mostram que, tanto quando
tende a
quanto a
,
se aproxima de 1. Isso indica que a linha
é uma assíntota horizontal para a função
.
Resposta
A função
possui uma assíntota horizontal na reta
.
Exercícios relacionados
Seja
igual a um inteiro positivo
em (a); mostre que
Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
15.
15.
Mostre que:
a) .
a)
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
29.
.
29.