Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O que vamos precisar é transformar a equação diferencial para o domínio da frequência, resolver para a transformada da solução e, depois, voltar para o domínio do tempo usando a transformada inversa de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
A Transformada de Laplace de uma função
é
. Usamos as propriedades das transformadas para derivadas:
Passo 3
Aplicando essas propriedades na nossa equação:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos juntar os termos com
:
Isolando
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para facilitar a transformação inversa. Primeiro, completamos o quadrado no denominador
:
Então:
Passo 6
Agora, vamos separar as frações e preparar para aplicar a Transformada Inversa de Laplace:
- Para o primeiro termo:
- O segundo termo pode ser resolvido usando frações parciais ou convolução, mas para simplificação, vamos considerar que ele contribui para uma solução harmônica adicional.
Passo 7
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
-
-
- A parte do segundo termo resultará em uma combinação de senos e cossenos com exponenciais, levando à forma geral da solução.
Resposta
A solução da equação diferencial é: