Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
21. y'' - 2y' + 2y = cos(t) ; y(0) = 1 ; y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O que vamos precisar é transformar a equação diferencial para o domínio da frequência, resolver para a transformada da solução e, depois, voltar para o domínio do tempo usando a transformada inversa de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
A Transformada de Laplace de uma função é . Usamos as propriedades das transformadas para derivadas:

Passo 3

Aplicando essas propriedades na nossa equação:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos com :
Isolando :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para facilitar a transformação inversa. Primeiro, completamos o quadrado no denominador :
Então:

Passo 6

Agora, vamos separar as frações e preparar para aplicar a Transformada Inversa de Laplace:
  1. Para o primeiro termo:
  1. O segundo termo pode ser resolvido usando frações parciais ou convolução, mas para simplificação, vamos considerar que ele contribui para uma solução harmônica adicional.

Passo 7

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
  1. A parte do segundo termo resultará em uma combinação de senos e cossenos com exponenciais, levando à forma geral da solução.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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