Encontre a transformada de Laplace da função dada.
30.
.
30.
Passo 1
Beleza! A gente tem que encontrar a transformada de Laplace da função
que é definida por partes:
E ela se repete a cada 2 unidades de tempo, ou seja,
. Vamos precisar usar a teoria de funções periódicas e a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função periódica
com período
é dada por:
No nosso caso, o período
é 2.
Passo 3
Vamos calcular a integral
. Como
é definida por partes, dividimos a integral em duas partes:
Passo 4
Calculando a primeira integral:
E a segunda integral:
Passo 5
Somando as duas integrais:
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é
.
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Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
21.
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Verifique se as funções abaixo possuem assíntota horizontal.
b) .
b)
Verifique se as funções abaixo possuem assíntota horizontal.
c) .
c)
Se
, mostre que existe
tal que
.