Encontre a transformada de Laplace da função dada.
30. f(t) = { 1, 0 <= t < 1, -1, 1 <= t < 2 }
f(t+2) = f(t).

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar a transformada de Laplace da função que é definida por partes:
E ela se repete a cada 2 unidades de tempo, ou seja, . Vamos precisar usar a teoria de funções periódicas e a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função periódica com período é dada por:
No nosso caso, o período é 2.

Passo 3

Vamos calcular a integral . Como é definida por partes, dividimos a integral em duas partes:

Passo 4

Calculando a primeira integral:
E a segunda integral:

Passo 5

Somando as duas integrais:

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas:

Resposta

A transformada de Laplace da função é .

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