t^2 y'' + 2 t y' + 0.25 y = 0, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou: para . O conteúdo aqui é de equações diferenciais ordinárias, mais especificamente das chamadas equações de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar assumir uma solução do tipo e encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução seja da forma . Isso significa que assumimos que a função pode ser expressa como uma potência de , onde é um expoente que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação original:

Passo 5

Simplificamos cada termo:
Fatorando :
Como nunca é zero para , temos que:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e :
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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