Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
para
. O conteúdo aqui é de equações diferenciais ordinárias, mais especificamente das chamadas equações de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar assumir uma solução do tipo
e encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução seja da forma
. Isso significa que assumimos que a função
pode ser expressa como uma potência de
, onde
é um expoente que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 5
Simplificamos cada termo:
Fatorando
:
Como
nunca é zero para
, temos que:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.