Encontre a transformada de Laplace da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a transformada de Laplace de uma função que muda de valor dependendo do intervalo de . O conteúdo aqui é Transformada de Laplace e vamos precisar usar funções de Heaviside para lidar com as diferentes partes da função. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é zero de até , depois passa a ser de até , e volta a ser zero após . Para facilitar o trabalho com a transformada de Laplace, vamos reescrever usando a função de Heaviside, que é uma função que “liga” ou “desliga” partes da função em certos pontos.

Passo 3

A função de Heaviside, denotada por , é igual a 0 para e 1 para . Usando isso, podemos escrever da seguinte forma:
Isso significa que é a partir de até , e zero fora desse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos lembrar que a transformada de Laplace de é:
E para , temos:
Vamos usar essas propriedades para encontrar a transformada de .

Passo 5

Aplicando a linearidade da transformada de Laplace, temos:
Vamos resolver cada termo separadamente.

Passo 6

Para o primeiro termo , usamos a propriedade de deslocamento no tempo:
Então, substituindo :

Passo 7

Para o segundo termo , vamos notar que a função começa a valer a partir de . Mas como já estamos considerando o intervalo até , precisamos ajustar isso. Na verdade, a expressão correta usando deslocamento é:

Passo 8

Agora, juntando os dois termos, temos:
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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