Seja uma função. É possível que tenha uma inversa à esquerda mas não tenha uma inversa à direita?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e queremos saber se é possível que essa função tenha uma inversa à esquerda mas não tenha uma inversa à direita. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de funções inversas à esquerda e à direita, além de propriedades como ser injetora e sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre inversa à esquerda. Uma função é chamada de inversa à esquerda de se, ao compor com , obtemos a função identidade em . Ou seja:
Isso significa que precisa ser injetora (cada elemento de mapeia para um elemento único em ) para que possa “desfazer” a ação de .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre inversa à direita. Uma função é chamada de inversa à direita de se, ao compor com , obtemos a função identidade em . Ou seja:
Para que isso seja possível, precisa ser sobrejetora (cada elemento de tem pelo menos um elemento em que mapeia para ele).
Passo 4
O exercício pergunta se é possível que tenha uma inversa à esquerda sem ter uma inversa à direita. Vamos analisar o que isso implica:
Ter uma inversa à esquerda implica que é injetora.
Não ter uma inversa à direita implica que não é sobrejetora.
Passo 5
Então, para que isso seja possível, precisamos de uma função que seja injetora mas não sobrejetora. Por exemplo, considere e . Definimos a função da seguinte forma:
Essa função é injetora porque elementos diferentes de mapeiam para elementos diferentes em . No entanto, ela não é sobrejetora porque o elemento em não tem um correspondente em .
Passo 6
Como é injetora, existe uma inversa à esquerda definida, por exemplo, por:
Mas como não é sobrejetora, não existe uma função tal que para todos , pois não há em que satisfaça .
Resposta
Sim, é possível que tenha uma inversa à esquerda mas não tenha uma inversa à direita quando é injetora mas não sobrejetora.