Seja uma função. É possível que tenha uma inversa à esquerda mas não tenha uma inversa à direita?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e queremos saber se é possível que essa função tenha uma inversa à esquerda mas não tenha uma inversa à direita. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de funções inversas à esquerda e à direita, além de propriedades como ser injetora e sobrejetora.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre inversa à esquerda. Uma função é chamada de inversa à esquerda de se, ao compor com , obtemos a função identidade em . Ou seja:
Isso significa que precisa ser injetora (cada elemento de mapeia para um elemento único em ) para que possa “desfazer” a ação de .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre inversa à direita. Uma função é chamada de inversa à direita de se, ao compor com , obtemos a função identidade em . Ou seja:
Para que isso seja possível, precisa ser sobrejetora (cada elemento de tem pelo menos um elemento em que mapeia para ele).

Passo 4

O exercício pergunta se é possível que tenha uma inversa à esquerda sem ter uma inversa à direita. Vamos analisar o que isso implica:
  • Ter uma inversa à esquerda implica que é injetora.
  • Não ter uma inversa à direita implica que não é sobrejetora.

Passo 5

Então, para que isso seja possível, precisamos de uma função que seja injetora mas não sobrejetora. Por exemplo, considere e . Definimos a função da seguinte forma:
Essa função é injetora porque elementos diferentes de mapeiam para elementos diferentes em . No entanto, ela não é sobrejetora porque o elemento em não tem um correspondente em .

Passo 6

Como é injetora, existe uma inversa à esquerda definida, por exemplo, por:
áãá
Mas como não é sobrejetora, não existe uma função tal que para todos , pois não há em que satisfaça .

Resposta

Sim, é possível que tenha uma inversa à esquerda mas não tenha uma inversa à direita quando é injetora mas não sobrejetora.

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