Seja
uma função. É possível que
tenha uma inversa à esquerda mas não tenha uma inversa à direita?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
e queremos saber se é possível que essa função tenha uma inversa à esquerda mas não tenha uma inversa à direita. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de funções inversas à esquerda e à direita, além de propriedades como ser injetora e sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre inversa à esquerda. Uma função
é chamada de inversa à esquerda de
se, ao compor
com
, obtemos a função identidade em
. Ou seja:
Isso significa que
precisa ser injetora (cada elemento de
mapeia para um elemento único em
) para que
possa “desfazer” a ação de
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre inversa à direita. Uma função
é chamada de inversa à direita de
se, ao compor
com
, obtemos a função identidade em
. Ou seja:
Para que isso seja possível,
precisa ser sobrejetora (cada elemento de
tem pelo menos um elemento em
que mapeia para ele).
Passo 4
O exercício pergunta se é possível que
tenha uma inversa à esquerda sem ter uma inversa à direita. Vamos analisar o que isso implica:
- Ter uma inversa à esquerda implica que
é injetora. - Não ter uma inversa à direita implica que
não é sobrejetora.
Passo 5
Então, para que isso seja possível, precisamos de uma função que seja injetora mas não sobrejetora. Por exemplo, considere
e
. Definimos a função
da seguinte forma:
Essa função é injetora porque elementos diferentes de
mapeiam para elementos diferentes em
. No entanto, ela não é sobrejetora porque o elemento
em
não tem um correspondente em
.
Passo 6
Como
é injetora, existe uma inversa à esquerda
definida, por exemplo, por:
Mas como
não é sobrejetora, não existe uma função
tal que
para todos
, pois não há
em
que satisfaça
.
Resposta
Sim, é possível que
tenha uma inversa à esquerda mas não tenha uma inversa à direita quando
é injetora mas não sobrejetora.