Seja uma função. Mostre que , para todo , se, somente se, é sobrejetiva.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma função e queremos mostrar que para todo subconjunto de . Além disso, vamos provar que isso acontece se e somente se for sobrejetiva (ou seja, toda elemento de tem pelo menos um pré-imagem em ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções, pré-imagens e sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A pré-imagem de pela função é o conjunto de todos os elementos em que envia para algum elemento de . Matemáticamente,

Passo 3

Agora, aplicamos a função novamente a . Isso significa que estamos pegando todos os elementos que envia para e, em seguida, aplicando neles. Ou seja,
Isso resulta em todos os elementos de que realmente são imagens de algum elemento em .

Passo 4

Queremos que para todo . Isso significa que todo elemento de deve estar na imagem de . Em outras palavras, para cada , deve existir algum tal que .

Passo 5

Essa última condição é exatamente a definição de uma função sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se para todo , existe pelo menos um com .

Passo 6

Portanto, mostramos que para todo se e somente se é sobrejetiva. Se é sobrejetiva, então toda parte de está na imagem de , e assim recupera exatamente . Vice-versa, se para todo , então deve ser sobrejetiva para garantir que todos os elementos de sejam atingidos.

Resposta

Portanto, para todo se e somente se a função é sobrejetiva.

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