Seja
uma função. Mostre que
, para todo
, se, somente se,
é sobrejetiva.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma função
e queremos mostrar que
para todo subconjunto
de
. Além disso, vamos provar que isso acontece se e somente se
for sobrejetiva (ou seja, toda elemento de
tem pelo menos um pré-imagem em
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções, pré-imagens e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A pré-imagem de
pela função
é o conjunto de todos os elementos em
que
envia para algum elemento de
. Matemáticamente,
Passo 3
Agora, aplicamos a função
novamente a
. Isso significa que estamos pegando todos os elementos que
envia para
e, em seguida, aplicando
neles. Ou seja,
Isso resulta em todos os elementos de
que realmente são imagens de algum elemento em
.
Passo 4
Queremos que
para todo
. Isso significa que todo elemento de
deve estar na imagem de
. Em outras palavras, para cada
, deve existir algum
tal que
.
Passo 5
Essa última condição é exatamente a definição de uma função sobrejetiva. Uma função
é sobrejetiva se para todo
, existe pelo menos um
com
.
Passo 6
Portanto, mostramos que
para todo
se e somente se
é sobrejetiva. Se
é sobrejetiva, então toda parte de
está na imagem de
, e assim
recupera exatamente
. Vice-versa, se
para todo
, então
deve ser sobrejetiva para garantir que todos os elementos de
sejam atingidos.
Resposta
Portanto,
para todo
se e somente se a função
é sobrejetiva.
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, sendo dadas:
;
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