Seja uma função. É possível que não tenha nem inversa à esquerda e nem inversa à direita?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre funções e suas inversas. Precisamos entender o que são inversas à esquerda e à direita. Para resolver isso, vamos revisar os conceitos de funções injetoras e sobrejetoras, que são essenciais para falar sobre inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função inversa à esquerda existe se a função original for injetora. Isso significa que cada elemento do conjunto B é mapeado por no máximo um elemento de A. Se for injetora, conseguimos “desfazer” a função à esquerda.

Passo 3

Agora, uma função inversa à direita existe se a função original for sobrejetora. Ou seja, todo elemento de B é atingido por pelo menos um elemento de A. Se for sobrejetora, conseguimos “desfazer” a função à direita.

Passo 4

A pergunta é se pode existir uma função que não seja nem injetora nem sobrejetora, ou seja, que não tenha inversa à esquerda nem à direita. Sim, isso é possível! Por exemplo, considere a função definida por . Essa função não é injetora (pois ) nem sobrejetora (não alcança números negativos). Portanto, ela não tem nem inversa à esquerda nem à direita.

Resposta

Sim, é possível que uma função não tenha nem inversa à esquerda nem inversa à direita.

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