Seja
uma função. Se
e
são inversas à esquerda para a função
, elas são necessariamente iguais?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e duas funções
e
que são inversas à esquerda de
. O assunto aqui é funções inversas na matemática. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma função inversa à esquerda e analisar se duas funções inversas à esquerda de
precisam ser iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa uma função ser inversa à esquerda. Uma função
é uma inversa à esquerda de
se, quando você compõe
com
, o resultado é a função identidade em
. Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Isso significa que, para todo elemento
em
, aplicar
e depois
retorna o elemento original
.
Passo 3
Agora, queremos saber se duas funções
e
que satisfazem
e
precisam ser iguais. Em outras palavras, mesmo que ambas sejam inversas à esquerda de
, isso garante que
?
Passo 4
Para responder, vamos considerar um exemplo simples. Suponha que:
-
-
-
é definida por e
Podemos definir duas funções diferentes que são inversas à esquerda de
:
-
, , -
, ,
Ambas satisfazem
, mas claramente
.
Passo 5
Esse exemplo mostra que, mesmo que
e
sejam ambas inversas à esquerda de
, elas podem atribuir valores diferentes para elementos fora da imagem de
. Portanto,
e
não precisam ser iguais.
Resposta
Não,
e
não são necessariamente iguais quando são inversas à esquerda da função
.