Seja uma função. Se e são inversas à esquerda para a função , elas são necessariamente iguais?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e duas funções e que são inversas à esquerda de . O assunto aqui é funções inversas na matemática. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma função inversa à esquerda e analisar se duas funções inversas à esquerda de precisam ser iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa uma função ser inversa à esquerda. Uma função é uma inversa à esquerda de se, quando você compõe com , o resultado é a função identidade em . Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Isso significa que, para todo elemento em , aplicar e depois retorna o elemento original .
Passo 3
Agora, queremos saber se duas funções e que satisfazem e precisam ser iguais. Em outras palavras, mesmo que ambas sejam inversas à esquerda de , isso garante que ?
Passo 4
Para responder, vamos considerar um exemplo simples. Suponha que:
é definida por e
Podemos definir duas funções diferentes que são inversas à esquerda de :
, ,
, ,
Ambas satisfazem , mas claramente .
Passo 5
Esse exemplo mostra que, mesmo que e sejam ambas inversas à esquerda de , elas podem atribuir valores diferentes para elementos fora da imagem de . Portanto, e não precisam ser iguais.
Resposta
Não, e não são necessariamente iguais quando são inversas à esquerda da função .