Seja uma função. Se e são inversas à esquerda para a função , elas são necessariamente iguais?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e duas funções e que são inversas à esquerda de . O assunto aqui é funções inversas na matemática. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma função inversa à esquerda e analisar se duas funções inversas à esquerda de precisam ser iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa uma função ser inversa à esquerda. Uma função é uma inversa à esquerda de se, quando você compõe com , o resultado é a função identidade em . Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Isso significa que, para todo elemento em , aplicar e depois retorna o elemento original .

Passo 3

Agora, queremos saber se duas funções e que satisfazem e precisam ser iguais. Em outras palavras, mesmo que ambas sejam inversas à esquerda de , isso garante que ?

Passo 4

Para responder, vamos considerar um exemplo simples. Suponha que:
  • é definida por e
Podemos definir duas funções diferentes que são inversas à esquerda de :
  • , ,
  • , ,
Ambas satisfazem , mas claramente .

Passo 5

Esse exemplo mostra que, mesmo que e sejam ambas inversas à esquerda de , elas podem atribuir valores diferentes para elementos fora da imagem de . Portanto, e não precisam ser iguais.

Resposta

Não, e não são necessariamente iguais quando são inversas à esquerda da função .

Exercícios relacionados

Seja uma função. É possível que tenha uma inversa à esquerda mas não tenha uma inversa à direita?
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
Seja uma função. Se e são inversas à direita para a função , elas são necessariemnte iguais?
Seja uma função. É possível que tenha uma inversa à direita mas não tenha uma inversa à esquerda?