Encontre a Transformada de Laplace da função dada.
(a)
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a sua Transformada de Laplace. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos da Transformada de Laplace, especialmente a transformada de funções multiplicadas por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Transformada de Laplace da função seno. A fórmula básica é:
Onde
é uma constante. No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de . Existe uma propriedade da Transformada de Laplace que nos ajuda com isso:
Isso significa que multiplicar a função por
no domínio do tempo corresponde a tomar a derivada da transformada de Laplace em relação a
, com sinal negativo.
Passo 4
Aplicando essa propriedade à nossa função , temos:
Aqui, substituímos
na fórmula da Transformada de Laplace da função seno.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada:
Simplificando os sinais e realizando a derivação, chegamos ao resultado final.
Resposta
A Transformada de Laplace de é: