Encontre a transformada de Laplace da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função está definida por partes e aplicar as propriedades da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida da seguinte maneira:
Isso significa que é zero antes de , cresce linearmente de entre e , e volta a zero depois de .

Passo 3

Para encontrar a transformada de Laplace dessa função, vamos usar a propriedade de funções definidas por partes e a função degrau unitário, também conhecida como função de Heaviside, .
Podemos reescrever usando a função :
Isso significa que a função começa em e termina em .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace. Lembrando que a transformada de Laplace de é:
Aplicando isso para e , temos:

Passo 5

Finalmente, simplificando a expressão, obtemos a transformada de Laplace de :

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine se a função é contínua, seccionalmente contínua ou nenhuma das duas opções, no intervalo . (Dica: faça o gráfico da função)
Quais das funções a seguir são continuas? E por qué? Argumente.
a)
b)
Esboce o gráfico da função dada no intervalo .
.
Verifique se as séries convergem ou divergem. ,