Encontre a transformada de Laplace da função.
f(t) = { 0, t < pi; t - pi, pi <= t < 2 pi; 0, t >= 2 pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função está definida por partes e aplicar as propriedades da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida da seguinte maneira:
Isso significa que é zero antes de , cresce linearmente de entre e , e volta a zero depois de .

Passo 3

Para encontrar a transformada de Laplace dessa função, vamos usar a propriedade de funções definidas por partes e a função degrau unitário, também conhecida como função de Heaviside, .
Podemos reescrever usando a função :
Isso significa que a função começa em e termina em .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace. Lembrando que a transformada de Laplace de é:
Aplicando isso para e , temos:

Passo 5

Finalmente, simplificando a expressão, obtemos a transformada de Laplace de :

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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