Quais das funções a seguir são continuas? E por qué? Argumente.
a)
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu duas funções e quer saber quais delas são contínuas, além de entender o porquê. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade em funções reais. Precisamos olhar cada função e ver se não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico dentro do domínio definido.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função a):
O domínio dessa função é , ou seja, todos os números reais exceto e .

Passo 3

Vamos analisar cada componente de f(t):
  1. :
    • Essa expressão basicamente retorna se for positivo e se for negativo.
    • Não está definida em , mas como está excluído do domínio, não tem problema aqui.
    • Essa função é contínua no seu domínio.
  2. :
    • Essa é uma função que tem uma descontinuidade (simplícamente porque você não pode dividir por zero).
    • Felizmente, está excluído do domínio, então dentro do domínio definido, essa função é contínua.
  3. :
    • Função identidade, que é contínua em todo lugar.

Passo 4

Agora, vamos para a função b):
O domínio aqui é .

Passo 5

Analisando cada componente de f(t):
  1. :
    • Novamente, função identidade, contínua em todo lugar.
  2. :
    • Assim como na função a), essa parte não está definida em , mas como esse ponto está excluído, a função é contínua no restante do domínio.

Passo 6

Em resumo, ambas as funções a) e b) são contínuas nos seus respectivos domínios porque todas as partes que as compõem são contínuas dentro desses domínios, e os pontos onde poderiam ter descontinuidades estão excluídos.

Resposta

As duas funções, a) e b), são contínuas nos seus respectivos domínios porque todas as suas componentes são contínuas onde estão definidas.

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Esboce o gráfico da função dada no intervalo .
.
Esboce o gráfico da função dada no intervalo .
.
Em cada caso, determine se a função é contínua, seccionalmente contínua ou nenhuma das duas opções, no intervalo . (Dica: faça o gráfico da função)
Encontre a transformada de Laplace da função.