Quais das funções a seguir são continuas? E por qué? Argumente.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu duas funções e quer saber quais delas são contínuas, além de entender o porquê. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade em funções reais. Precisamos olhar cada função e ver se não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico dentro do domínio definido.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função a):
O domínio dessa função é
, ou seja, todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Vamos analisar cada componente de f(t):
-
: - Essa expressão basicamente retorna
se for positivo e se for negativo. - Não está definida em
, mas como está excluído do domínio, não tem problema aqui. - Essa função é contínua no seu domínio.
- Essa expressão basicamente retorna
-
: - Essa é uma função que tem uma descontinuidade (simplícamente porque você não pode dividir por zero).
- Felizmente,
está excluído do domínio, então dentro do domínio definido, essa função é contínua.
-
: - Função identidade, que é contínua em todo lugar.
Passo 4
Agora, vamos para a função b):
O domínio aqui é
.
Passo 5
Analisando cada componente de f(t):
-
: - Novamente, função identidade, contínua em todo lugar.
-
: - Assim como na função a), essa parte não está definida em
, mas como esse ponto está excluído, a função é contínua no restante do domínio.
- Assim como na função a), essa parte não está definida em
Passo 6
Em resumo, ambas as funções a) e b) são contínuas nos seus respectivos domínios porque todas as partes que as compõem são contínuas dentro desses domínios, e os pontos onde poderiam ter descontinuidades estão excluídos.
Resposta
As duas funções, a) e b), são contínuas nos seus respectivos domínios porque todas as suas componentes são contínuas onde estão definidas.