Encontre a transformada de Laplace da função.
f(t)=(t-3) u2(t)-(t-2) u3(t).

Passo 1

Vamos entender o enunciado! Estamos sendo pedidos para encontrar a transformada de Laplace da função f(t)=(t-3) u2(t)-(t-2) u3(t). A transformada de Laplace é uma ferramenta que pegamos para transformar funções de tempo (que variam com t) em funções de uma variável complexa, normalmente denotada por s. Para resolvê-lo, precisaremos entender o que são as funções u2(t) e u3(t), que são funções de Heaviside (ou degrau) que “ligam” a função a partir de determinados valores de t.

Passo 2

As funções ua(t) são definidas assim:
ua(t) = 0, & se t < a 1, & se t >= a
Então, u2(t) ativa nossa função a partir de t=2, e u3(t) a partir de t=3. Isso significa que:
  • Para t < 2: f(t) = 0 (porque u2(0) = 0 e u3(0) = 0).
  • Para 2 <= t < 3: f(t) = t - 3 (porque u2(t) = 1 e u3(t) = 0).
  • Para t >= 3: f(t) = (t - 3) - (t - 2) = -1 (porque ambas as funções u estão ativas).
Então, podemos escrever a função f(t) de forma piecewise (por partes):
f(t) = 0, & se t < 2 t - 3, & se 2 <= t < 3 -1, & se t >= 3

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace da função. A fórmula geral da transformada de Laplace é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) dt
Como sabemos que f(t) = 0 para t < 2, não precisamos desse intervalo. Então, nossa integral se torna:
Lf(t) = integral2^3 e^-st (t - 3) dt + integral3^infty e^-st (-1) dt
Vamos resolver essas duas integrais separadamente.

Integral de t-3 de 2 a 3:

integral2^3 e^-st (t - 3) dt
Para resolver, precisamos usar integração por partes, onde escolhemos u = t - 3 e dv = e^-st dt.
Seja du = dt e v = -1s e^-st. A integração por partes dá:
integral u , dv = uv - integral v , du
Calculando isso, obtemos um resultado para a primeira parte.

Integral de -1 de 3 até ∞:

A integral:
integral3^infty e^-st (-1) dt = -integral3^infty e^-st dt
Que resolve para:
[-1s e^-st]3^infty = 1s e^-3s
Depois que calculamos e somamos as duas partes, poderemos encontrar o resultado total da transformada de Laplace.

Resposta

Depois de calcular cada parte, a transformada de Laplace de f(t) é dada por:
Lf(t) = -e^-2ss^2 + 1s e^-3s
Então essa é a resultante!

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