Encontre a transformada de Laplace da função.
.

Passo 1

Vamos entender o enunciado! Estamos sendo pedidos para encontrar a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta que pegamos para transformar funções de tempo (que variam com ) em funções de uma variável complexa, normalmente denotada por . Para resolvê-lo, precisaremos entender o que são as funções e , que são funções de Heaviside (ou degrau) que “ligam” a função a partir de determinados valores de .

Passo 2

As funções são definidas assim:
Então, ativa nossa função a partir de , e a partir de . Isso significa que:
  • Para : (porque e ).
  • Para : (porque e ).
  • Para : (porque ambas as funções estão ativas).
Então, podemos escrever a função de forma piecewise (por partes):

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace da função. A fórmula geral da transformada de Laplace é dada por:
Como sabemos que para , não precisamos desse intervalo. Então, nossa integral se torna:
Vamos resolver essas duas integrais separadamente.

Integral de de 2 a 3:

Para resolver, precisamos usar integração por partes, onde escolhemos e .
Seja e . A integração por partes dá:
Calculando isso, obtemos um resultado para a primeira parte.

Integral de -1 de 3 até ∞:

A integral:
Que resolve para:
Depois que calculamos e somamos as duas partes, poderemos encontrar o resultado total da transformada de Laplace.

Resposta

Depois de calcular cada parte, a transformada de Laplace de é dada por:
Então essa é a resultante!

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Use convolução para achar:
Resolva a equação diferencial e esboce o gráfico de duas soluções.
verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
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Obtenha a solução geral das seguintes equações diferenciais: .