Vamos entender o enunciado! Estamos sendo pedidos para encontrar a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta que pegamos para transformar funções de tempo (que variam com ) em funções de uma variável complexa, normalmente denotada por . Para resolvê-lo, precisaremos entender o que são as funções e , que são funções de Heaviside (ou degrau) que “ligam” a função a partir de determinados valores de .
Passo 2
As funções são definidas assim:
Então, ativa nossa função a partir de , e a partir de . Isso significa que:
Para : (porque e ).
Para : (porque e ).
Para : (porque ambas as funções estão ativas).
Então, podemos escrever a função de forma piecewise (por partes):
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace da função. A fórmula geral da transformada de Laplace é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) dt
Como sabemos que f(t) = 0 para t < 2, não precisamos desse intervalo. Então, nossa integral se torna: