verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
t y^prime-y=t^2;
y=3 t+t^2

Passo 1

Vamos resumir o exercício: nós temos uma equação diferencial que é t y' - y = t^2, onde y' é a derivada de y em relação a t. Precisamos verificar se a função y = 3t + t^2 é uma solução dessa equação. Para isso, vamos precisar calcular a derivada y' e substituir na equação para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada y' da função dada. A função que temos é y = 3t + t^2. A derivada em relação a t é computada assim:
  1. A derivada de 3t é 3.
  2. A derivada de t^2 é 2t.
Portanto, somando tudo, temos:
y' = 3 + 2t

Passo 3

Agora que temos y' e y, vamos substituir na equação diferencial t y' - y = t^2.
Substituindo y e y' teremos:
  1. Primeiro, calculamos t y':
t y' = t(3 + 2t) = 3t + 2t^2
  1. Agora, substituímos y:
y = 3t + t^2
  1. Agora vamos substituir esses nas partes da equação:
t y' - y = (3t + 2t^2) - (3t + t^2) = 3t + 2t^2 - 3t - t^2
  1. Simplificando isso:
3t + 2t^2 - 3t - t^2 = (2t^2 - t^2) = t^2

Resposta

Agora, vamos ver se isso está igual a t^2. Como chegamos a t^2, podemos concluir que a função y = 3t + t^2 é, de fato, uma solução da equação diferencial t y' - y = t^2.

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