Encontre a transformada de Laplace das funções
f(t) = { 0, t < 0; sen(t), t ≥ 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função que é igual a quando e zero quando . A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo em funções do domínio de frequência, o que ajuda a resolver equações diferenciais de forma mais fácil. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções trigonométricas como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Aqui, é uma variável complexa que geralmente representa a frequência.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula, temos:
Nosso objetivo é resolver essa integral para encontrar a transformada de Laplace da função seno.

Passo 4

Para resolver a integral , podemos usar uma técnica de integração conhecida como integração por partes ou reconhecer que essa é uma integral padrão que já tem uma solução conhecida. Neste caso, sabemos que:
Onde é a frequência angular do seno. No nosso caso, , já que temos .

Passo 5

Substituindo na fórmula, a transformada de Laplace fica:
Essa é a expressão final da transformada de Laplace para a função .

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Calcule a integral.
integral e^-x sen(3 x) d x
  1. f'(x) = -(5x + 7) / (2(x^2 - 1))
Seja f(x) = { x² + 1, se x < 1; (x - 2)², se x ≥ 1 }.
Esboce o gráfico de f.
Se f(x)=llbracket x rrbracket+llbracket-x rrbracket, mostre que existe lim x 2 f(x), mas que não é igual a f(2).