Encontre a transformada de Laplace das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função
que é igual a quando
e zero quando
. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo em funções do domínio de frequência, o que ajuda a resolver equações diferenciais de forma mais fácil. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções trigonométricas como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Aqui,
é uma variável complexa que geralmente representa a frequência.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula, temos:
Nosso objetivo é resolver essa integral para encontrar a transformada de Laplace da função seno.
Passo 4
Para resolver a integral , podemos usar uma técnica de integração conhecida como integração por partes ou reconhecer que essa é uma integral padrão que já tem uma solução conhecida. Neste caso, sabemos que:
Onde
é a frequência angular do seno. No nosso caso,
, já que temos .
Passo 5
Substituindo
na fórmula, a transformada de Laplace fica:
Essa é a expressão final da transformada de Laplace para a função .
Resposta
A transformada de Laplace da função é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
Seja
.
Esboce o gráfico de .
Esboce o gráfico de
Se
, mostre que existe
, mas que não é igual a
.