Se
, mostre que existe
, mas que não é igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o limite de
quando
se aproxima de 2 existe, mas que esse limite não é igual a
. Vamos usar conceitos de funções de parte inteira (ou piso) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função
. Ela representa a parte inteira de
, ou seja, o maior número inteiro que é menor ou igual a
. Por exemplo,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
na função:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite quando
se aproxima de 2. Para isso, precisamos verificar o comportamento de
à esquerda e à direita de 2.
Passo 5
Primeiro, consideramos
chegando a 2 pela esquerda (valores menores que 2). Seja
, com
e bem pequeno:
Então,
Portanto, o limite pela esquerda é
.
Passo 6
Agora, consideramos
chegando a 2 pela direita (valores maiores que 2). Seja
, com
e bem pequeno:
Então,
Portanto, o limite pela direita também é
.
Passo 7
Como o limite pela esquerda e pela direita são iguais e valem
, concluímos que:
Passo 8
Comparando com
, que calculamos ser 0, vemos que:
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 2 é
, mas
. Portanto,
.
Exercícios relacionados
Seja
.
Esboce o gráfico de .
Esboce o gráfico de
Encontre a transformada de Laplace das funções
Determine o limite infinito.
Seja
.
Encontre e
.
Encontre