Se f(x)=llbracket x rrbracket+llbracket-x rrbracket, mostre que existe lim x 2 f(x), mas que não é igual a f(2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o limite de quando se aproxima de 2 existe, mas que esse limite não é igual a . Vamos usar conceitos de funções de parte inteira (ou piso) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função . Ela representa a parte inteira de , ou seja, o maior número inteiro que é menor ou igual a . Por exemplo, e .

Passo 3

Vamos calcular f(2) = llbracket 2 rrbracket + llbracket -2 rrbracket = 2 + (-2) = 0 . Substituindo na função:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando se aproxima de 2. Para isso, precisamos verificar o comportamento de à esquerda e à direita de 2.

Passo 5

Primeiro, consideramos llbracket 2 - h rrbracket = 1 (porque 1 < 2 - h < 2) chegando a 2 pela esquerda (valores menores que 2). Seja llbracket -(2 - h) rrbracket = llbracket -2 + h rrbracket = -2 (porque -2 < -2 + h < -1) , com f(2 - h) = 1 + (-2) = -1 e bem pequeno:
Então,
Portanto, o limite pela esquerda é .

Passo 6

Agora, consideramos llbracket 2 + h rrbracket = 2 (porque 2 < 2 + h < 3) chegando a 2 pela direita (valores maiores que 2). Seja llbracket -(2 + h) rrbracket = llbracket -2 - h rrbracket = -3 (porque -3 < -2 - h < -2) , com f(2 + h) = 2 + (-3) = -1 e bem pequeno:
Então,
Portanto, o limite pela direita também é .

Passo 7

Como o limite pela esquerda e pela direita são iguais e valem limx 2 f(x) = -1 , concluímos que:

Passo 8

Comparando com limx 2 f(x) neq f(2) , que calculamos ser 0, vemos que:

Resposta

O limite de quando se aproxima de 2 é , mas . Portanto, .

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