Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC ln (x y) d x+(y / x) d y, C é o retângulo com vértices (1,1),(1,4),(2,4) e (2,1)

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralC ln(x y) , dx + yx , dy utilizando o Teorema de Green. Neste exercício, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como converter a integral de linha em uma integral dupla sobre a região encerrada pela curva C.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x,y) = ln(x y) e Q(x,y) = yx que compõem a integral de linha. O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Onde D é a região delimitada pela curva C.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( yx ) = -yx^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( ln(x y) ) = xx y = 1y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( -yx^2 - 1y ) dx , dy
Simplificando a expressão dentro da integral dupla:
-yx^2 - 1y = -( yx^2 + 1y )

Passo 5

Em seguida, definimos os limites de integração. A curva C é um retângulo com vértices em (1,1), (1,4), (2,4) e (2,1). Portanto, x varia de 1 a 2 e y varia de 1 a 4. A integral dupla fica:
-integralx=1^2 integraly=1^4 ( yx^2 + 1y ) dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a y primeiro:
integral1^4 yx^2 , dy = 1x^2 cdot [ y^22 ]1^4 = 1x^2 cdot ( 162 - 12 ) = 152x^2
E para a segunda parte:
integral1^4 1y , dy = [ ln y ]1^4 = ln 4 - ln 1 = ln 4

Passo 7

Agora, substituímos esses resultados na integral externa:
-integral1^2 ( 152x^2 + ln 4 ) dx = -( 152 integral1^2 1x^2 dx + ln 4 integral1^2 dx )
Calculando cada integral separadamente:
integral1^2 1x^2 dx = [ -1x ]1^2 = -12 + 1 = 12
integral1^2 dx = 2 - 1 = 1

Passo 8

Substituindo de volta:
-( 152 cdot 12 + ln 4 cdot 1 ) = -( 154 + ln 4 )

Resposta

A integral de linha é igual a -( 154 + ln 4 ).

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