Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é o retângulo com vértices
e
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
utilizando o Teorema de Green. Neste exercício, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como converter a integral de linha em uma integral dupla sobre a região encerrada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
que compõem a integral de linha. O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região delimitada pela curva
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral dupla:
Passo 5
Em seguida, definimos os limites de integração. A curva
é um retângulo com vértices em
e
. Portanto,
varia de 1 a 2 e
varia de 1 a 4. A integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
E para a segunda parte:
Passo 7
Agora, substituímos esses resultados na integral externa:
Calculando cada integral separadamente:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
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. (Confira a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
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.