Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, é o retângulo com vértices e

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha utilizando o Teorema de Green. Neste exercício, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como converter a integral de linha em uma integral dupla sobre a região encerrada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e que compõem a integral de linha. O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região delimitada pela curva .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral dupla:

Passo 5

Em seguida, definimos os limites de integração. A curva é um retângulo com vértices em e . Portanto, varia de 1 a 2 e varia de 1 a 4. A integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro:
E para a segunda parte:

Passo 7

Agora, substituímos esses resultados na integral externa:
Calculando cada integral separadamente:

Passo 8

Substituindo de volta:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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