Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r. (Confira a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
integralC(3+e^x^2) d x+(tg^-1 y+3 x^2) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. Basicamente, queremos calcular a integral de linha dada pela expressão integralC(3+e^x^2) dx + (tan^-1 y + 3x^2) dy. Para isso, precisamos garantir que a curva está orientada no sentido anti-horário e identificar as funções e que vão compor o campo vetorial .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral: temos e . O Teorema de Green nos permite transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva .

Passo 3

Antes de aplicar o teorema, precisamos verificar se a curva está orientada no sentido anti-horário, que é a orientação positiva requerida pelo Teorema de Green. Se estiver no sentido horário, precisaríamos mudar o sinal da integral. Supondo que está no sentido anti-horário, podemos prosseguir.

Passo 4

O Teorema de Green estabelece que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 5

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x (tan^-1 y + 3x^2) = 6x :
partial Ppartial y = partialpartial y (3 + e^x^2) = 0
Calculando :

Passo 6

Subtraindo as derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 6x - 0 = 6x

Passo 7

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaD 6x , dx , dy
Para resolver essa integral, precisaríamos conhecer os limites de integração sobre a região . Como eles não foram fornecidos, assumiremos uma região simples para ilustrar, por exemplo, um retângulo com limites de a e a .

Passo 8

Integrando em relação a integralc^d 6x , dy = 6x (d - c) primeiro:
integrala^b 6x (d - c) , dx = 6(d - c) [ x^22 ]a^b = 3(d - c)(b^2 - a^2)
E então, integrando em relação a :

Resposta

Portanto, a integral é igual a , considerando os limites de integração assumidos para a região .

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