Use o Teorema de Green para calcular
. (Confira a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. Basicamente, queremos calcular a integral de linha dada pela expressão
. Para isso, precisamos garantir que a curva
está orientada no sentido anti-horário e identificar as funções
e
que vão compor o campo vetorial
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integral: temos
e
. O Teorema de Green nos permite transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região
delimitada pela curva
.
Passo 3
Antes de aplicar o teorema, precisamos verificar se a curva
está orientada no sentido anti-horário, que é a orientação positiva requerida pelo Teorema de Green. Se estiver no sentido horário, precisaríamos mudar o sinal da integral. Supondo que
está no sentido anti-horário, podemos prosseguir.
Passo 4
O Teorema de Green estabelece que:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Passo 6
Subtraindo as derivadas:
Passo 7
Agora, a integral dupla fica:
Para resolver essa integral, precisaríamos conhecer os limites de integração sobre a região
. Como eles não foram fornecidos, assumiremos uma região simples para ilustrar, por exemplo, um retângulo com limites de
a
e
a
.
Passo 8
Integrando em relação a
primeiro:
E então, integrando em relação a
:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a
, considerando os limites de integração assumidos para a região
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é o retângulo com vértices
e
Use a transformada de Laplace para encontrar a solução
do problema dado.
;
Encontre a transformada de Laplace inversa de
.
Clacule a transformada de Laplace inversa
,