Use o Teorema de Green para calcular . (Confira a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. Basicamente, queremos calcular a integral de linha dada pela expressão . Para isso, precisamos garantir que a curva está orientada no sentido anti-horário e identificar as funções e que vão compor o campo vetorial .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral: temos e . O Teorema de Green nos permite transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva .

Passo 3

Antes de aplicar o teorema, precisamos verificar se a curva está orientada no sentido anti-horário, que é a orientação positiva requerida pelo Teorema de Green. Se estiver no sentido horário, precisaríamos mudar o sinal da integral. Supondo que está no sentido anti-horário, podemos prosseguir.

Passo 4

O Teorema de Green estabelece que:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 5

Calculando :
Calculando :

Passo 6

Subtraindo as derivadas:

Passo 7

Agora, a integral dupla fica:
Para resolver essa integral, precisaríamos conhecer os limites de integração sobre a região . Como eles não foram fornecidos, assumiremos uma região simples para ilustrar, por exemplo, um retângulo com limites de a e a .

Passo 8

Integrando em relação a primeiro:
E então, integrando em relação a :

Resposta

Portanto, a integral é igual a , considerando os limites de integração assumidos para a região .

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