Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a Transformada de Laplace Inversa de uma fração. O enunciado é:
Aqui, vamos usar conceitos de frações parciais e propriedades das Transformadas de Laplace. Precisamos fatorar o denominador, decompor a fração e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, procuramos dois números que multiplicados deem
e somados deem
.
Esses números são
e
, porque
e
.
Então, reescrevemos o polinômio:
Portanto, o denominador fatorado é
.
Passo 3
Agora que temos a fração:
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum
:
Passo 4
Vamos expandir e igualar os coeficientes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo em
:
Agora, substituindo
em
:
Passo 6
Agora que temos
e
, a fração original em frações parciais fica:
Podemos simplificar:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace Inversa em cada termo. Sabemos que:
No primeiro termo, temos
, que podemos reescrever como
, então:
No segundo termo, a forma já está adequada:
Passo 8
Agora, juntando tudo junto com os coeficientes:
Resposta
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Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
Se
existe uma transformação linear
de
em
tal que
para
e 3 ?
Trace a curva
definida por
, indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(b) (ciclóide)
(b)
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.