Encontre a Transformada de Laplace Inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a Transformada de Laplace Inversa de uma fração. O enunciado é:
Aqui, vamos usar conceitos de frações parciais e propriedades das Transformadas de Laplace. Precisamos fatorar o denominador, decompor a fração e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para isso, procuramos dois números que multiplicados deem e somados deem .
Esses números são e , porque e .
Então, reescrevemos o polinômio:
Portanto, o denominador fatorado é .

Passo 3

Agora que temos a fração:
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum :

Passo 4

Vamos expandir e igualar os coeficientes:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo em :
Agora, substituindo em :

Passo 6

Agora que temos e , a fração original em frações parciais fica:
Podemos simplificar:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace Inversa em cada termo. Sabemos que:
No primeiro termo, temos , que podemos reescrever como , então:
No segundo termo, a forma já está adequada:

Passo 8

Agora, juntando tudo junto com os coeficientes:

Resposta

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