Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você tem aqui é uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Nosso objetivo é resolver essa equação usando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções por partes, já que
muda de valor em
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada
é
, onde
é a Transformada de
. Como
, isso simplifica para
. Então, aplicando a Transformada:
Passo 3
Agora, vamos isolar
:
Então, precisamos achar a Transformada de Laplace de
.
Passo 4
A função
é definida por partes:
Isso pode ser escrito usando a função degrau de Heaviside
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a Transformada de Laplace de
:
Para isso, usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções multiplicadas por um degrau
:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Vamos simplificar
:
Então:
E sabemos que:
Passo 7
Substituindo de volta:
Agora, voltando à nossa expressão para
:
Passo 8
Para encontrar
, precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de
. Vamos separar os termos e usar a propriedade do atraso:
A Transformada inversa vai envolver convolução e propriedades de atrasos, mas para simplificar, reconhecemos que a solução geral pode ser encontrada usando a superposição de soluções para cada termo.
Passo 9
Finalmente, aplicando a Transformada de Laplace inversa, obtemos:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Existe uma transformação linear
de
tal que
e $T(1,1,1)=(0,1) ?
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
, onde
Utilizando o produto vetorial, encontre a distância do ponto
à reta definida pelo pelos pontos
e
.
(a) e
(a)
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.