Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
y' - y = f(t), y(0) = 0, onde f(t) = { 0 se 0 <= t < pi/2, sen(t) se t >= pi/2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você tem aqui é uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Nosso objetivo é resolver essa equação usando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções por partes, já que muda de valor em .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é , onde é a Transformada de . Como , isso simplifica para . Então, aplicando a Transformada:

Passo 3

Agora, vamos isolar :
Então, precisamos achar a Transformada de Laplace de .

Passo 4

A função é definida por partes:
Isso pode ser escrito usando a função degrau de Heaviside :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a Transformada de Laplace de :
Para isso, usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções multiplicadas por um degrau :
No nosso caso, , então:

Passo 6

Vamos simplificar :
Então:
E sabemos que:

Passo 7

Substituindo de volta:
Agora, voltando à nossa expressão para :

Passo 8

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de . Vamos separar os termos e usar a propriedade do atraso:
A Transformada inversa vai envolver convolução e propriedades de atrasos, mas para simplificar, reconhecemos que a solução geral pode ser encontrada usando a superposição de soluções para cada termo.

Passo 9

Finalmente, aplicando a Transformada de Laplace inversa, obtemos:

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial dada é:

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