Utilizando o produto vetorial, encontre a distância do ponto à reta definida pelo pelos pontos e .
(a) e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a distância do ponto à reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar o produto vetorial, que faz parte da matéria de Vetores no Espaço 3D. Precisaremos saber como calcular vetores, produto vetorial e entender como usar essas ferramentas para achar a distância entre um ponto e uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que precisamos. A reta é definida pelos pontos e , então vamos criar o vetor diretor da reta, que é dado por .
Dados:
Calculando :
Passo 3
Agora, vamos criar o vetor que vai de até , ou seja, .
Dados:
Calculando :
Passo 4
Com os vetores e definidos, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores nos dá um vetor perpendicular aos dois originais, e a sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por eles.
Calculando :
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial, que nos dará a área do paralelogramo formado por e .
Passo 6
A distância do ponto à reta é dada pela fórmula:
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula da distância:
Resposta
A distância do ponto à reta definida pelos pontos e é aproximadamente 5,07 unidades.