Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
mathscrLintegral0^t e^tau cos (t-tau) d tau

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a transformada de Laplace de uma função que envolve uma integral:
mathscrLintegral0^t e^tau cos (t-tau) d tau
Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e propriedades de convolução. Então, vamos precisar lembrar como a transformada de uma integral funciona e usar algumas fórmulas chave da teoria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada de Laplace que relaciona convolução. A integral que temos é uma convolução de mathscrLf(t) * g(t) = mathscrLf(t) cdot mathscrLg(t) e . A propriedade da convolução diz que:
Então, se reconhecermos nossa integral como uma convolução, podemos transformar isso em um produto de transformadas.

Passo 3

Vamos identificar mathscrLe^at = 1s - a e mathscrLcos bt = ss^2 + b^2 . Agora, precisamos encontrar as transformadas de Laplace dessas funções individuais. Sabemos que:
mathscrLe^t = 1s - 1
e
mathscrLcos t = ss^2 + 1
Aqui, e , então aplicando essas fórmulas:

Passo 4

Agora, aplicando a propriedade da convolução que mencionei antes, a transformada da nossa integral é o produto das transformadas individuais:
mathscrLintegral0^t e^tau cos (t-tau) d tau = mathscrLe^t cdot mathscrLcos t = 1s - 1 cdot ss^2 + 1

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão multiplicando os termos:
1s - 1 cdot ss^2 + 1 = s(s - 1)(s^2 + 1)

Passo 6

Para deixar a resposta mais completa, podemos deixar em termos de frações parciais, mas como o exercício pede apenas a transformada, já podemos parar por aqui.

Resposta

A transformada de Laplace da função dada é:
mathscrLintegral0^t e^tau cos (t-tau) d tau = s(s - 1)(s^2 + 1)

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