Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a transformada de Laplace de uma função que envolve uma integral:
Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e propriedades de convolução. Então, vamos precisar lembrar como a transformada de uma integral funciona e usar algumas fórmulas chave da teoria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada de Laplace que relaciona convolução. A integral que temos é uma convolução de
e
. A propriedade da convolução diz que:
Então, se reconhecermos nossa integral como uma convolução, podemos transformar isso em um produto de transformadas.
Passo 3
Vamos identificar
e
. Agora, precisamos encontrar as transformadas de Laplace dessas funções individuais. Sabemos que:
e
Aqui,
e
, então aplicando essas fórmulas:
Passo 4
Agora, aplicando a propriedade da convolução que mencionei antes, a transformada da nossa integral é o produto das transformadas individuais:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão multiplicando os termos:
Passo 6
Para deixar a resposta mais completa, podemos deixar em termos de frações parciais, mas como o exercício pede apenas a transformada, já podemos parar por aqui.
Resposta
A transformada de Laplace da função dada é:
Exercícios relacionados
Se
existe uma transformação linear
de
em
tal que
para
e 3 ?
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
Trace a curva
definida por
, indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(b) (ciclóide)
(b)