Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a transformada de Laplace de uma função que envolve uma integral:
Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e propriedades de convolução. Então, vamos precisar lembrar como a transformada de uma integral funciona e usar algumas fórmulas chave da teoria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada de Laplace que relaciona convolução. A integral que temos é uma convolução de e . A propriedade da convolução diz que:
Então, se reconhecermos nossa integral como uma convolução, podemos transformar isso em um produto de transformadas.

Passo 3

Vamos identificar e . Agora, precisamos encontrar as transformadas de Laplace dessas funções individuais. Sabemos que:
e
Aqui, e , então aplicando essas fórmulas:

Passo 4

Agora, aplicando a propriedade da convolução que mencionei antes, a transformada da nossa integral é o produto das transformadas individuais:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão multiplicando os termos:

Passo 6

Para deixar a resposta mais completa, podemos deixar em termos de frações parciais, mas como o exercício pede apenas a transformada, já podemos parar por aqui.

Resposta

A transformada de Laplace da função dada é:

Exercícios relacionados

Se
existe uma transformação linear de em tal que para e 3 ?
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(b) (ciclóide)