Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a transformada de Laplace inversa da função
. Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar simplificar a função e usar propriedades das transformadas de Laplace inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Olhando para o denominador
, podemos fatorar:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos separar o numerador em partes para facilitar a divisão:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Vamos agora encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Para o primeiro termo
:
Passo 5
Para os outros dois termos, que têm a forma
, vamos usar frações parciais. A ideia é escrever cada fração como uma soma de termos mais simples que já conhecemos a transformada inversa.
Por exemplo, para
, suponhamos que:
Resolvendo para os coeficientes
, podemos encontrar a transformada inversa de cada termo.
Passo 6
Após encontrar os coeficientes, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada fração. Por exemplo,
tem como inversa
.
Assim, somamos todas as transformadas inversas dos termos individuais para obter a solução completa.
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é:
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