Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a transformada de Laplace inversa da função . Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar simplificar a função e usar propriedades das transformadas de Laplace inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Olhando para o denominador , podemos fatorar:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos separar o numerador em partes para facilitar a divisão:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Vamos agora encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Para o primeiro termo :

Passo 5

Para os outros dois termos, que têm a forma , vamos usar frações parciais. A ideia é escrever cada fração como uma soma de termos mais simples que já conhecemos a transformada inversa.
Por exemplo, para , suponhamos que:
Resolvendo para os coeficientes , podemos encontrar a transformada inversa de cada termo.

Passo 6

Após encontrar os coeficientes, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada fração. Por exemplo, tem como inversa .
Assim, somamos todas as transformadas inversas dos termos individuais para obter a solução completa.

Resposta

A transformada de Laplace inversa de é:

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