Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Isso envolve o conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente a aplicação da transformada inversa para encontrar a função no domínio do tempo a partir de sua representação no domínio de Laplace. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Laplace e conhecer algumas transformadas padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a aplicação das transformadas inversas. Podemos reescrever da seguinte maneira:
Essa separação é útil porque cada termo agora se assemelha a formas conhecidas cujas transformadas inversas já conhecemos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo separadamente.
  1. Para o primeiro termo :
    Sabemos que:
    No nosso caso, , então:
  2. Para o segundo termo :
    Sabemos que:
    Aqui, temos que o numerador é 2, então podemos reescrever como . Portanto:

Passo 4

Agora, combinamos as transformadas inversas dos dois termos para obter a solução completa:

Resposta

A transformada de Laplace inversa de é .

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