Existe uma transformação linear de tal que e $T(1,1,1)=(0,1) ?

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a pergunta aqui. A gente tem uma transformação linear que vai de para . A questão quer saber se existe essa transformação tal que:
Então, vamos precisar usar os conceitos de transformação linear, sistemas lineares e verificar se essas condições podem ser satisfeitas simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho tal que:
Onde é um vetor em . Então, nossa tarefa é encontrar uma matriz que satisfaça as condições dadas.

Passo 3

Vamos chamar a matriz de:
Agora, aplicando as condições fornecidas:
  1. Para :
Isso resulta em duas equações:
  1. Para :
Isso também dá duas equações:

Passo 4

Agora temos um sistema de quatro equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de .

Passo 5

Vamos começar com as equações 1 e 3 para encontrar :
Equação 1:
Equação 3:
Subtraindo a equação 1 da equação 3:
Agora, substituindo na equação 3:
E na equação 1:
Notamos que as duas equações resultam na mesma coisa, ou seja, temos apenas uma equação com duas incógnitas ( ). Isso significa que há infinitas soluções para e .

Passo 6

Agora, vamos para as equações 2 e 4 para encontrar :
Equação 2:
Equação 4:
Subtraindo a equação 2 da equação 4:
Substituindo na equação 4:
E na equação 2:
Novamente, temos a mesma equação resultando em , o que indica infinitas soluções para e .

Passo 7

Como temos infinitas soluções para e para , podemos escolher valores arbitrários para uma das variáveis em cada par e resolver a outra. Por exemplo:
Vamos escolher e :
  1. Para :
  1. Para :
Então, temos:

Passo 8

Com esses valores, a matriz fica:
Vamos verificar se essa matriz realmente satisfaz as condições dadas.

Passo 9

Verificando :
E verificando :
Isso confirma que a matriz encontrada satisfaz ambas as condições.

Resposta

Sim, existe uma transformação linear que satisfaz e . Uma matriz que realiza essa transformação é:

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