Encontre a transformada de Laplace Y(s)= Ly da solução do problema de valor inicial dado. Um método de determinar a transformação inversa é desenvolvido na Seção 6.3. Você pode consultar os Problemas de 16 a 18 na Seção 6.1.
y^prime prime+y=llt, & 0 <= t<1, 2-t, & 1 <= t<2, 0, & 2 <= t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace! A gente precisa achar a transformada de Laplace da solução da equação diferencial dada com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada nos diferentes pedaços da função que estão definindo a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função do lado direito da equação diferencial de forma que a gente possa aplicar a Transformada de Laplace facilmente. A função está definida por partes:
f(t) = t, & 0 <= t < 1, 2 - t, & 1 <= t < 2, 0, & 2 <= t < infty
Para facilitar o trabalho com a transformada, vamos expressar f(t) = t cdot u(t) - t cdot u(t - 1) + (2 - t) cdot u(t - 1) - (2 - t) cdot u(t - 2) usando funções de Heaviside f(t) = t cdot [u(t) - u(t - 1)] + (2 - t) cdot [u(t - 1) - u(t - 2)] :
Simplificando, temos:
Isso nos ajuda a lidar com as diferentes “janelas” onde a função muda de expressão.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial:
y'' + y = f(t)
Aplicando a transformada aos dois lados:
Ly'' + Ly = Lf(t)
Sabemos que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Como Ly'' = s^2 Y(s) e s^2 Y(s) + Y(s) = Lf(t) , fica:
Então, a equação transformada fica:

Passo 4

Vamos agora calcular f(t) = t cdot [u(t) - u(t - 1)] + (2 - t) cdot [u(t - 1) - u(t - 2)] . Utilizando a expressão que encontramos para Lf(t) = Lt - Lt cdot u(t - 1) + L2 - Lt cdot Lu(t - 1) - L2 - t cdot Lu(t - 2) :
Lt = 1s^2
Aplicando a propriedade da linearidade e sabendo que Lt cdot u(t - 1) = e^-s ( 1s^2 + 1s ) , temos:
L2 = 2s
Calculando cada parte separadamente:
L2 - t cdot u(t - 1) = 2 cdot e^-ss - e^-s ( 1s^2 )
Lf(t) = 1s^2 - e^-s ( 1s^2 + 1s ) + 2s - 2e^-2s cdot 1s + e^-2s cdot 1s^2
Somando tudo:

Passo 5

Voltando à equação transformada:
s^2 Y(s) + Y(s) = Lf(t)
Fatorando Y(s)(s^2 + 1) = Lf(t) :
Y(s) = Lf(t)s^2 + 1
Então, isolando Y(s) = 1s^2 - e^-s ( 1s^2 + 1s ) + 2s - 2e^-2s cdot 1s + e^-2s cdot 1s^2s^2 + 1 :
Substituindo o valor que encontramos para :

Resposta

A transformada de Laplace da solução é:
Y(s) = 1s^2(s^2 + 1) - e^-s(1 + s)s^2(s^2 + 1) + 2s(s^2 + 1) - 2e^-2ss(s^2 + 1) + e^-2ss^2(s^2 + 1)

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