Encontre a transformada de Laplace da solução do problema de valor inicial dado. Um método de determinar a transformação inversa é desenvolvido na Seção 6.3. Você pode consultar os Problemas de 16 a 18 na Seção 6.1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace! A gente precisa achar a transformada de Laplace da solução da equação diferencial dada com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada nos diferentes pedaços da função que estão definindo a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função do lado direito da equação diferencial de forma que a gente possa aplicar a Transformada de Laplace facilmente. A função está definida por partes:
f(t) = t, & 0 <= t < 1, 2 - t, & 1 <= t < 2, 0, & 2 <= t < infty
Para facilitar o trabalho com a transformada, vamos expressar f(t) = t cdot u(t) - t cdot u(t - 1) + (2 - t) cdot u(t - 1) - (2 - t) cdot u(t - 2) usando funções de Heaviside f(t) = t cdot [u(t) - u(t - 1)] + (2 - t) cdot [u(t - 1) - u(t - 2)] :
Simplificando, temos:
Isso nos ajuda a lidar com as diferentes “janelas” onde a função muda de expressão.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial:
y'' + y = f(t)
Aplicando a transformada aos dois lados:
Ly'' + Ly = Lf(t)
Sabemos que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Como Ly'' = s^2 Y(s) e s^2 Y(s) + Y(s) = Lf(t) , fica: