Encontre a transformada de Laplace da solução do problema de valor inicial dado. Um método de determinar a transformação inversa é desenvolvido na Seção 6.3. Você pode consultar os Problemas de 16 a 18 na Seção 6.1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace! A gente precisa achar a transformada de Laplace da solução da equação diferencial dada com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada nos diferentes pedaços da função que estão definindo a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função do lado direito da equação diferencial de forma que a gente possa aplicar a Transformada de Laplace facilmente. A função está definida por partes:
Para facilitar o trabalho com a transformada, vamos expressar usando funções de Heaviside :
Simplificando, temos:
Isso nos ajuda a lidar com as diferentes “janelas” onde a função muda de expressão.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Aplicando a transformada aos dois lados:
Sabemos que:
Como e , fica:
Então, a equação transformada fica:

Passo 4

Vamos agora calcular . Utilizando a expressão que encontramos para :
Aplicando a propriedade da linearidade e sabendo que , temos:
Calculando cada parte separadamente:
Somando tudo:

Passo 5

Voltando à equação transformada:
Fatorando :
Então, isolando :
Substituindo o valor que encontramos para :

Resposta

A transformada de Laplace da solução é:

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