Encontre a transformada de Laplace da solução do problema de valor inicial dado. Um método de determinar a transformação inversa é desenvolvido na Seção 6.3. Você pode consultar os Problemas de 16 a 18 na Seção 6.1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace! A gente precisa achar a transformada de Laplace da solução da equação diferencial dada com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada nos diferentes pedaços da função que estão definindo a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função do lado direito da equação diferencial de forma que a gente possa aplicar a Transformada de Laplace facilmente. A função está definida por partes:
Para facilitar o trabalho com a transformada, vamos expressar usando funções de Heaviside :
Simplificando, temos:
Isso nos ajuda a lidar com as diferentes “janelas” onde a função muda de expressão.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Aplicando a transformada aos dois lados:
Sabemos que:
Como e , fica:
Então, a equação transformada fica:
Passo 4
Vamos agora calcular . Utilizando a expressão que encontramos para :
Aplicando a propriedade da linearidade e sabendo que , temos: