(a) a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
;
(b) o ponto no gráfico de
em que o plano tangente seja paralelo ao plano obtido no item (a).
(b) o ponto no gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema está dividido em duas partes:
(a) Encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de uma função no ponto
.
(b) Encontrar o ponto no gráfico de outra função onde o plano tangente seja paralelo ao plano encontrado na parte (a).
(a) Encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de uma função
(b) Encontrar o ponto no gráfico de outra função
Vamos precisar entender sobre derivadas parciais e planos tangentes para resolver isso. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação do plano tangente a uma função
em um ponto específico. A fórmula geral do plano tangente no ponto
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
No nosso caso, o ponto dado é
, então
,
, e
. Vamos supor que
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
. Essas derivadas nos dizem como a função muda em relação a
e
naquele ponto específico. Sem a expressão exata de
, mantemos essas derivadas como incógnitas.
Passo 5
Substituindo na fórmula do plano tangente, temos:
Essa é a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar um ponto no gráfico de
onde o plano tangente seja paralelo ao plano que encontramos na parte (a).
Para que dois planos sejam paralelos, eles devem ter os mesmos coeficientes para
e
. Ou seja, as derivadas parciais de
nesse novo ponto devem ser iguais às derivadas parciais de
no ponto
.
Passo 7
Então, procuramos um ponto
tal que:
Essas igualdades garantem que os planos tangentes terão a mesma inclinação em relação aos eixos
e
, tornando-os paralelos.
Passo 8
Sem a expressão específica de
, não podemos calcular os valores exatos de
e
. Contudo, o procedimento geral é encontrar esses valores resolvendo o sistema de equações acima, uma vez que
e
sejam conhecidos.
Resposta
(a) A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é:
(b) O ponto no gráfico de
onde o plano tangente é paralelo ao plano encontrado no item (a) satisfaz:
Exercícios relacionados
Mostre que, para quaisquer conjuntos
, tem-se que:
se e somente se
.
Encontre a transformada de Laplace de:
Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
- (h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(g)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)