(a) a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto ;
(b) o ponto no gráfico de em que o plano tangente seja paralelo ao plano obtido no item (a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema está dividido em duas partes:
(a) Encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de uma função no ponto .
(b) Encontrar o ponto no gráfico de outra função onde o plano tangente seja paralelo ao plano encontrado na parte (a).
Vamos precisar entender sobre derivadas parciais e planos tangentes para resolver isso. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação do plano tangente a uma função em um ponto específico. A fórmula geral do plano tangente no ponto é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, o ponto dado é , então , , e . Vamos supor que , ou seja, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e . Essas derivadas nos dizem como a função muda em relação a e naquele ponto específico. Sem a expressão exata de , mantemos essas derivadas como incógnitas.

Passo 5

Substituindo na fórmula do plano tangente, temos:
Essa é a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar um ponto no gráfico de onde o plano tangente seja paralelo ao plano que encontramos na parte (a).
Para que dois planos sejam paralelos, eles devem ter os mesmos coeficientes para e . Ou seja, as derivadas parciais de nesse novo ponto devem ser iguais às derivadas parciais de no ponto .

Passo 7

Então, procuramos um ponto tal que:
Essas igualdades garantem que os planos tangentes terão a mesma inclinação em relação aos eixos e , tornando-os paralelos.

Passo 8

Sem a expressão específica de , não podemos calcular os valores exatos de e . Contudo, o procedimento geral é encontrar esses valores resolvendo o sistema de equações acima, uma vez que e sejam conhecidos.

Resposta

(a) A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é:
(b) O ponto no gráfico de onde o plano tangente é paralelo ao plano encontrado no item (a) satisfaz:

Exercícios relacionados

Mostre que, para quaisquer conjuntos , tem-se que: se e somente se .
Encontre a transformada de Laplace de:
Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
  • (h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(g)