Encontre as transformadas inversas de Laplace das funções:
F(s)=(9+s)/(4-s^2).
Resposta: f(t) = -cosh(2 t) - 9/2 senh(2 t)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso envolve o estudo das transformadas de Laplace inversas, e para resolver esse problema, vamos precisar entender como manipular frações racionais e aplicar as transformadas conhecidas das funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Notamos que o denominador pode ser reescrito da seguinte forma:
Essa reescrita nos ajuda a identificar os polos da função e a preparar a expressão para aplicar a transformada inversa de Laplace.

Passo 3

Agora, reescrevemos separando os termos do numerador:
Isso facilita a aplicação das transformadas inversas conhecidas.

Passo 4

Vamos identificar as transformadas inversas conhecidas para cada termo:
  1. Para o termo :
Sabemos que:
Aqui, , pois .
  1. Para o termo :
Sabemos que:
Multiplicando por 9, temos:

Passo 5

Agora, combinamos as transformadas inversas dos dois termos:
Substituindo pelas transformadas encontradas:

Passo 6

Lembrando que o denominador original foi reescrito como , devemos ajustar os sinais na expressão final:

Resposta

A transformada inversa de Laplace da função é:

Exercícios relacionados