Encontre as transformadas inversas de Laplace das funções: .
Resposta:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso envolve o estudo das transformadas de Laplace inversas, e para resolver esse problema, vamos precisar entender como manipular frações racionais e aplicar as transformadas conhecidas das funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão . Notamos que o denominador pode ser reescrito da seguinte forma:
Essa reescrita nos ajuda a identificar os polos da função e a preparar a expressão para aplicar a transformada inversa de Laplace.
Passo 3
Agora, reescrevemos separando os termos do numerador:
Isso facilita a aplicação das transformadas inversas conhecidas.
Passo 4
Vamos identificar as transformadas inversas conhecidas para cada termo:
Para o termo :
Sabemos que:
Aqui, , pois .
Para o termo :
Sabemos que:
Multiplicando por 9, temos:
Passo 5
Agora, combinamos as transformadas inversas dos dois termos:
Substituindo pelas transformadas encontradas:
Passo 6
Lembrando que o denominador original foi reescrito como , devemos ajustar os sinais na expressão final: