Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.: Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar transformadas de Laplace para resolver um Problema de Valor Inicial (P.V.I.). O que isso significa? Basicamente, temos uma equação diferencial com condições iniciais, e vamos transformar essa equação para o domínio de Laplace para facilitar a resolução. No nosso caso, a equação é:
Então, vamos precisar das propriedades das transformadas de Laplace para derivadas e resolver a equação no domínio de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de é:
E a transformada de é simplesmente . Então, aplicando na equação:
Passo 3
Agora, vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos constantes do outro lado:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Passo 4
A próxima etapa é decompor essa fração para facilitar a aplicação da transformada inversa. Podemos separar em duas partes:
Sabemos que:
No nosso caso, .
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada inversa em cada termo: