Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.: Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria que vamos usar para resolver isso são as Transformadas de Laplace, que ajudam a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Precisamos das propriedades das transformadas de Laplace para derivadas e das transformadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A equação é:
Aplicando a transformada de Laplace:
Passo 3
Agora, usamos as propriedades das transformadas de Laplace para derivadas. Sabemos que:
E:
Substituindo na equação:
Passo 4
Vamos substituir as condições iniciais e :
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos da transformada de Laplace de . Sabemos que:
Então, para :
Passo 6
Substituindo de volta na equação:
Vamos isolar :
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Podemos escrever como:
Passo 8
Vamos separar as frações parciais. Observando que: