Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.:
x'' + x = cos(3t), x(0) = 1, x'(0) = 0 Resposta: x(t) = 1/8 (9 cos(t) - cos(3t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria que vamos usar para resolver isso são as Transformadas de Laplace, que ajudam a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Precisamos das propriedades das transformadas de Laplace para derivadas e das transformadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A equação é:
Aplicando a transformada de Laplace:

Passo 3

Agora, usamos as propriedades das transformadas de Laplace para derivadas. Sabemos que:
E:
Substituindo na equação:

Passo 4

Vamos substituir as condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos da transformada de Laplace de . Sabemos que:
Então, para :

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
Vamos isolar :

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Podemos escrever como:

Passo 8

Vamos separar as frações parciais. Observando que:
Aplicando transformadas inversas:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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