Encontre as transformadas de Laplace inversa das funções a seguir:
8 / (s^3 * (s + 2))

Passo 1

Nesta questão, precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa da função 8 / (s^3 * (s + 2)). Para resolver isso, vamos utilizar a decomposição em frações parciais e depois aplicar as propriedades das transformadas de Laplace inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função 8 / (s^3 * (s + 2)) em frações parciais. Queremos expressar a função como uma soma de termos mais simples que possamos inverter facilmente.

Passo 3

A forma geral da decomposição em frações parciais para essa função é:
Onde A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Expandindo os termos:

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de s em ambos os lados da equação:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da última equação, , então .
  2. Substituindo na terceira equação, , temos .
  3. Substituindo na segunda equação, , temos .
  4. Substituindo na primeira equação, , temos .

Passo 9

Agora que encontramos os valores de A, B, C e D, substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 10

Por fim, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo individualmente:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace inversa de 8 / (s^3 * (s + 2)) é:

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