Encontre as transformadas de Laplace inversa das funções a seguir:
Passo 1
Nesta questão, precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Para resolver isso, vamos utilizar a decomposição em frações parciais e depois aplicar as propriedades das transformadas de Laplace inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Queremos expressar a função como uma soma de termos mais simples que possamos inverter facilmente.
Passo 3
A forma geral da decomposição em frações parciais para essa função é:
Onde , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandindo os termos:
Passo 6
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de em ambos os lados da equação:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Da última equação, , então .
Substituindo na terceira equação, , temos .
Substituindo na segunda equação, , temos .
Substituindo na primeira equação, , temos .
Passo 9
Agora que encontramos os valores de A, B, C e D, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Passo 10
Por fim, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo individualmente:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace inversa de 8 / (s^3 * (s + 2)) é: