Encontre as transformadas de Laplace inversa das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que nos ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em funções mais fáceis de lidar. Para resolver isso, vamos usar a fração parcial, que é uma técnica para simplificar funções racionais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a expressão em frações parciais. Queremos escrever isso como uma soma de termos mais simples do tipo .
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais dos dois lados da equação. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então:
Passo 6
Agora que encontramos os valores de , e , podemos reescrever a expressão original em termos de frações parciais:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo separado. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
vira
vira
vira
Resposta
Juntando tudo, a transformada de Laplace inversa da função dada é: