Utilize a transformada de Laplace para resolver os PVI y'' - 3y' + 2y = 2e^(3t), y(0) = 1, y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem um PVI (Problema de Valor Inicial) da forma , com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e depois resolver para , que é a transformada de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de é , de é , e de é .
Aplicando isso à nossa equação:
Substituindo pelas transformadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que contêm e os termos constantes:
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Vamos isolar :
Agora, dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Vamos fatorar o denominador :
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para cada termo.
Para o primeiro termo:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então:
Para o segundo termo:
Resolvendo para D e E, encontramos:
Então:

Passo 8

Substituindo tudo de volta em :
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para cada termo:

Resposta

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