Utilize a transformada de Laplace para resolver os PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem um PVI (Problema de Valor Inicial) da forma
, com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e depois resolver para
, que é a transformada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é
, de
é
, e de
é
.
Aplicando isso à nossa equação:
Substituindo pelas transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agrupar os termos que contêm
e os termos constantes:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Vamos isolar
:
Agora, dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para cada termo.
Para o primeiro termo:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então:
Para o segundo termo:
Resolvendo para D e E, encontramos:
Então:
Passo 8
Substituindo tudo de volta em
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para cada termo:
Resposta
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