Encontre as transformadas de Laplace inversa das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace Inversa! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de frações parciais para decompor a função e facilitar a aplicação das transformadas inversas. Para isso, precisamos entender como separar a função original em partes mais simples que a gente já sabe transformar de volta no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. A ideia é escrever como uma soma de frações mais simples, da forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação acima por para eliminar os denominadores, temos:
Vamos expandir e simplificar:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação: .
Substituindo na terceira equação: .
Substituindo e na segunda equação: .
Então, .
E .
Passo 5
Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 6
Vamos tratar cada fração separadamente para encontrar a transformada inversa.