Encontre as transformadas de Laplace inversa das funções a seguir:
s / ((s^2 + s + 2)(s + 4))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace Inversa! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de frações parciais para decompor a função e facilitar a aplicação das transformadas inversas. Para isso, precisamos entender como separar a função original em partes mais simples que a gente já sabe transformar de volta no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. A ideia é escrever como uma soma de frações mais simples, da forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação acima por para eliminar os denominadores, temos:
Vamos expandir e simplificar:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na terceira equação: .
  3. Substituindo e na segunda equação: .
  4. Então, .
  5. E .

Passo 5

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:

Passo 6

Vamos tratar cada fração separadamente para encontrar a transformada inversa.
  1. Para a primeira fração :
    • Primeiro, completamos o quadrado no denominador :
    • Reescrevendo a fração:
    • Isso se assemelha à transformada de , onde e .
  2. Para a segunda fração :
    • Isto é similar à transformada de , onde .

Passo 7

Aplicando as transformadas inversas conhecidas:
  1. Para :
  2. Para :

Resposta

A transformada de Laplace inversa de é:

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