(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que sumn=1^+infty n(-1)^3 n-12^3 n-1=(23)^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o resultado de um item anterior (item a) para mostrar que a soma infinita sumn=1^+infty n(-1)^3 n-12^3 n-1 é igual a (23)^4. A gente vai precisar entender séries infinitas e como manipular somas com potências e sinais alternados.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Note que (-1)^3n-1 pode ser reescrito como -(-1)^3n. Mas como 3n é múltiplo de 3, (-1)^3n = (-1)^n. Então, temos:
(-1)^3n-1 = -(-1)^n

Passo 3

Agora, substituímos de volta na soma original:
sumn=1^+infty n(-1)^3 n-12^3 n-1 = -sumn=1^+infty n(-1)^n2^3n-1

Passo 4

Vamos simplificar o denominador 2^3n-1. Isso pode ser escrito como 2^3n / 2:
2^3n-1 = 2^3n2 = (2^3)^n2 = 8^n2

Passo 5

Substituindo de volta, a soma fica:
-sumn=1^+infty n(-1)^n8^n2 = -2 sumn=1^+infty n(-1)^n8^n

Passo 6

Reconhecemos que a soma sumn=1^+infty n(-1)^n8^n é uma série geométrica derivada. Sabemos que:
sumn=1^+infty n x^n = x(1 - x)^2
Aqui, x = -18.

Passo 7

Substituindo x na fórmula:
sumn=1^+infty n (-18)^n = -18(1 - (-18))^2 = -18(98)^2 = -188164 = -64648 = -881

Passo 8

Voltando à nossa soma original:
-2 times (-881) = 1681 = (23)^4

Resposta

Portanto, sumn=1^+infty n(-1)^3 n-12^3 n-1 = (23)^4.

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