(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o resultado de um item anterior (item a) para mostrar que a soma infinita
é igual a
. A gente vai precisar entender séries infinitas e como manipular somas com potências e sinais alternados.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Note que
pode ser reescrito como
. Mas como
é múltiplo de 3,
. Então, temos:
Passo 3
Agora, substituímos de volta na soma original:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador
. Isso pode ser escrito como
:
Passo 5
Substituindo de volta, a soma fica:
Passo 6
Reconhecemos que a soma
é uma série geométrica derivada. Sabemos que:
Aqui,
.
Passo 7
Substituindo
na fórmula:
Passo 8
Voltando à nossa soma original:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se e
são sequências tais que
, então a
é convergente;
(h) ( ) A sequência definida por
e
é convergente;
(i) ( ) Se , tal que
é convergente, então
é convergente;
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então é convergente;
(k) ( ) Se converge e
, então
converge;
(l) ( ) Se e
divergem, então
diverge;
(m) ( ) Se converge, então
converge;
(n) ( ) Se e
divergem, então
converge;
(o) ( ) Se diverge, então
;
§ ( ) Se diverge, então
diverge;
(q) ( ) Se diverge e
, então
converge;
® ( ) Se é uma sequência constante, então
diverge;
(s) ( ) Se e
diverge, então
diverge.
(t) ( ) Se e
converge, então
converge.
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se
(h) ( ) A sequência
(i) ( ) Se
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então
(k) ( ) Se
(l) ( ) Se
(m) ( ) Se
(n) ( ) Se
(o) ( ) Se
§ ( ) Se
(q) ( ) Se
® ( ) Se
(s) ( ) Se
(t) ( ) Se
(a)
(b)
©
(b)
©
Use a propriedade polar para calcular o limite
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
(b) Determine os números reais que nos permite escrever
(b) Determine os números reais
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
.
(d) Calcule .
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
(d) Calcule
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?