(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o resultado de um item anterior (item a) para mostrar que a soma infinita
é igual a
. A gente vai precisar entender séries infinitas e como manipular somas com potências e sinais alternados.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Note que
pode ser reescrito como
. Mas como
é múltiplo de 3,
. Então, temos:
Passo 3
Agora, substituímos de volta na soma original:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador
. Isso pode ser escrito como
:
Passo 5
Substituindo de volta, a soma fica:
Passo 6
Reconhecemos que a soma
é uma série geométrica derivada. Sabemos que:
Aqui,
.
Passo 7
Substituindo
na fórmula:
Passo 8
Voltando à nossa soma original:
Resposta
Portanto,
.