(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o resultado de um item anterior (item a) para mostrar que a soma infinita é igual a . A gente vai precisar entender séries infinitas e como manipular somas com potências e sinais alternados.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Note que pode ser reescrito como . Mas como é múltiplo de 3, . Então, temos:

Passo 3

Agora, substituímos de volta na soma original:

Passo 4

Vamos simplificar o denominador . Isso pode ser escrito como :

Passo 5

Substituindo de volta, a soma fica:

Passo 6

Reconhecemos que a soma é uma série geométrica derivada. Sabemos que:
Aqui, .

Passo 7

Substituindo na fórmula:

Passo 8

Voltando à nossa soma original:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se e são sequências tais que , então a é convergente;
(h) ( ) A sequência definida por e é convergente;
(i) ( ) Se , tal que é convergente, então é convergente;
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então é convergente;
(k) ( ) Se converge e , então converge;
(l) ( ) Se e divergem, então diverge;
(m) ( ) Se converge, então converge;
(n) ( ) Se e divergem, então converge;
(o) ( ) Se diverge, então ;
§ ( ) Se diverge, então diverge;
(q) ( ) Se diverge e , então converge;
® ( ) Se é uma sequência constante, então diverge;
(s) ( ) Se e diverge, então diverge.
(t) ( ) Se e converge, então converge.
(a)
(b)
©
Use a propriedade polar para calcular o limite
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
(b) Determine os números reais que nos permite escrever
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais .
(d) Calcule .
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?