Encontre a unidade normal à superfície y = x + z^3 no ponto 1,2,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a unidade normal à superfície definida por no ponto . Isso envolve conceitos de Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, especificamente o uso do gradiente para determinar vetores normais. Vamos precisar entender como calcular o gradiente e depois normalizar o vetor resultante para obter a unidade normal.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma que ela seja igual a zero. Podemos fazer isso subtraindo de ambos os lados:

Passo 3

O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior variação de e é normal à superfície. Calculamos o gradiente encontrando as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  • Derivada em relação a :
  • Derivada em relação a :
  • Derivada em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado . Substituindo :

Passo 6

Esse vetor é o vetor normal à superfície no ponto . Mas a questão pede a unidade normal, ou seja, um vetor com comprimento igual a 1 na mesma direção.

Passo 7

Para normalizar o vetor, calculamos o seu módulo (comprimento):

Passo 8

Agora, dividimos cada componente do vetor normal pelo seu módulo para obter a unidade normal:

Resposta

A unidade normal à superfície no ponto é

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