Encontre a unidade normal à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a unidade normal à superfície definida por
no ponto
. Isso envolve conceitos de Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, especificamente o uso do gradiente para determinar vetores normais. Vamos precisar entender como calcular o gradiente e depois normalizar o vetor resultante para obter a unidade normal.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma que ela seja igual a zero. Podemos fazer isso subtraindo
de ambos os lados:
Passo 3
O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior variação de
e é normal à superfície. Calculamos o gradiente encontrando as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Então, o gradiente fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado
. Substituindo
:
Passo 6
Esse vetor
é o vetor normal à superfície no ponto
. Mas a questão pede a unidade normal, ou seja, um vetor com comprimento igual a 1 na mesma direção.
Passo 7
Para normalizar o vetor, calculamos o seu módulo (comprimento):
Passo 8
Agora, dividimos cada componente do vetor normal pelo seu módulo para obter a unidade normal:
Resposta
A unidade normal à superfície
no ponto
é