Se a for um vetor constante, encontre o gradiente de f = a . r e interprete este resultado geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o gradiente de uma função , onde é um vetor constante. Isso está dentro do assunto de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e gradientes. Para resolver, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular ele para funções que envolvem produtos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior aumento de e é dado por:
No nosso caso, a função é . Vamos expandir isso: se e , então:

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Para interpretar isso geometricamente, o gradiente aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente. No nosso caso, como , isso significa que o vetor indica exatamente a direção de aumento máximo de , e como é constante, essa direção não muda em todo o espaço.

Resposta

O gradiente de é .

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