Se a for um vetor constante, encontre o gradiente de
e interprete este resultado geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o gradiente de uma função
, onde
é um vetor constante. Isso está dentro do assunto de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e gradientes. Para resolver, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular ele para funções que envolvem produtos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e é dado por:
No nosso caso, a função é
. Vamos expandir isso: se
e
, então:
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Para interpretar isso geometricamente, o gradiente
aponta na direção em que a função
cresce mais rapidamente. No nosso caso, como
, isso significa que o vetor
indica exatamente a direção de aumento máximo de
, e como
é constante, essa direção não muda em todo o espaço.
Resposta
O gradiente de
é
.