Encontre o valor de a para que a área de paralelogramo formado pelos vetores seja de raiz117 u a Seja u=(3,1,2) v=(4, a, 0)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, u = (3, 1, 2) e v = (4, a, 0). Queremos encontrar o valor de a para que a área do paralelogramo formado por esses vetores seja igual a raiz117 , a. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área do paralelogramo, que envolve o produto vetorial dos dois vetores.

Passo 2

A área de um paralelogramo formado por dois vetores u e v é dada pela magnitude do produto vetorial destes vetores. O produto vetorial de u e v é definido por:
u times v = i & j & k 3 & 1 & 2 4 & a & 0

Passo 3

Vamos calcular o determinante para encontrar o produto vetorial:
u times v = i(1 cdot 0 - 2 cdot a) - j(3 cdot 0 - 2 cdot 4) + k(3 cdot a - 1 cdot 4)
Simplificando:
u times v = i(-2a) - j(-8) + k(3a - 4) u times v = (-2a)i + 8j + (3a - 4)k

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude do produto vetorial, que é a área do paralelogramo:
|u times v| = raiz(-2a)^2 + 8^2 + (3a - 4)^2 |u times v| = raiz4a^2 + 64 + 9a^2 - 24a + 16 |u times v| = raiz13a^2 - 24a + 80

Passo 5

Segundo o enunciado, essa magnitude deve ser igual a raiz117 , a. Então, temos a equação:
raiz13a^2 - 24a + 80 = raiz117 , a
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
13a^2 - 24a + 80 = 117a^2

Passo 6

Vamos reorganizar os termos para deixar a equação igual a zero:
13a^2 - 24a + 80 - 117a^2 = 0 -104a^2 -24a + 80 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
104a^2 + 24a - 80 = 0

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática na forma ax^2 + bx + c = 0. Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de a:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, identificamos os coeficientes:
acoef = 104 bcoef = 24 c = -80

Passo 8

Substituindo na fórmula de Bhaskara:
a = -24 pm raiz24^2 - 4 cdot 104 cdot (-80)2 cdot 104 a = -24 pm raiz576 + 33280208 a = -24 pm raiz33856208 a = -24 pm 184208

Passo 9

Calculando as duas possíveis soluções:
a = -24 + 184208 = 160208 = 4052 = 1013 approx 0,769
a = -24 - 184208 = -208208 = -1

Resposta

Os valores de a que satisfazem a condição são a = 1013 e a = -1.

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