Verifique se as retas
r:l x=6 t-3, y=t+4, z=7 t-5 e s:l x=18 t-2 y=3 t+4 z=21 t+2
são coincidentes ou paralelas.

Passo 1

Vamos verificar se as retas e são coincidentes ou paralelas. Para isso, vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com as equações paramétricas das retas no espaço tridimensional. Precisaremos identificar os vetores diretores de cada reta e analisar se eles são proporcionais, além de verificar se as retas compartilham pelo menos um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações paramétricas das retas x = 6t - 3 y = t + 4 z = 7t - 5 e r(t) = (-3, 4, -5) + t(6, 1, 7) na forma vetorial. Isso nos ajudará a identificar os vetores diretores de cada reta.
Para a reta x = 18t - 2 y = 3t + 4 z = 21t + 2 :
s(t) = (-2, 4, 2) + t(18, 3, 21)
Podemos expressar como:
Aqui, o vetor diretor de é .
Para a reta :
Podemos expressar como:
Aqui, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores diretores 186 = 3, 31 = 3, 217 = 3 e vs = 3 cdot vr são proporcionais. Dois vetores são proporcionais se um é múltiplo escalar do outro.
Vamos comparar as componentes dos vetores:
Como todas as razões são iguais a 3, concluímos que os vetores diretores são proporcionais:
Isso significa que as retas e são paralelas.

Passo 4

Para verificar se as retas são coincidentes (ou seja, se são a mesma reta), precisamos saber se elas compartilham pelo menos um ponto. Isso ocorre se existir um valor de 6t - 3 = 18t' - 2 (1) t + 4 = 3t' + 4 (2) 7t - 5 = 21t' + 2 (3) para t = 3t' e um valor de 6(3t') - 3 = 18t' - 2 18t' - 3 = 18t' - 2 -3 = -2 para tal que .
Igualando as componentes:
Da equação (2), temos:
Substituindo na equação (1):
Isso não faz sentido, ou seja, não existe um valor de e que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, as retas não compartilham nenhum ponto e não são coincidentes.

Resposta

As retas e são paralelas.

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