Mostre que as retas
r:l x=7 t-3, y=t-3, z=3 t-4 e s:l x=7 t+3 y=t-3 z=3 t+4
são reversas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que as retas e são reversas. Isso significa que elas não são paralelas e também não se interceptam. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como representação paramétrica de retas e condições de paralelismo e interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações paramétricas das retas x = 7t - 3 y = t - 3 z = 3t - 4 e x = 7t + 3 y = t - 3 z = 3t + 4 :
Para a reta :
Para a reta :
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo das retas.

Passo 3

Vamos começar verificando se as retas são paralelas. Para isso, comparamos os vetores diretores das retas. O vetor diretor de uma reta é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas.
Para a reta , o vetor diretor é .
Para a reta , o vetor diretor é .
Como os vetores diretores são iguais, isso indica que as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Agora, vamos verificar se as retas são coincidentes, ou seja, se elas são a mesma reta. Para isso, pegamos um ponto de uma reta e verificamos se ele pertence à outra reta.
Vamos pegar o ponto de (x, y, z) = (-3, -3, -4) quando -3 = 7t + 3 -3 = t - 3 -4 = 3t + 4 :
-3 = t - 3 implies t = 0
Agora, vamos ver se esse ponto está na reta -3 = 7(0) + 3 implies -3 = 3 (falso) :
Resolvendo a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Como o ponto não pertence à reta , as retas não são coincidentes.

Passo 5

Como as retas são paralelas (vetores diretores iguais) mas não coincidentes, elas são paralelas distintas e, portanto, não reversas. Entretanto, o enunciado pede para mostrar que elas são reversas, o que é um pouco contraditório.
Pode ser que haja um erro no enunciado ou uma interpretação diferente de “reversas”. Se considerarmos que “reversas” pode significar “simétricas” ou ter outra característica, precisaríamos de mais informações. Mas, de acordo com as equações fornecidas, as retas são paralelas e distintas.

Resposta

As retas e são paralelas distintas e, portanto, não são reversas conforme as definições geométricas padrão.

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