Encontre um valor para c tal que a seguinte função seja contínua em x = 2.
f(x) = { c*x - 1, se x <= 2; 4*c*(x-2)/(x^2 - 4), se x > 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de que faz a função ser contínua em . Isso tá relacionado ao estudo de continuidade de funções e limites. Para resolver, vamos precisar calcular os limites da função quando se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita, e garantir que eles sejam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função para . Nessa parte, a função é dada por . Para garantir a continuidade em , o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) deve ser igual ao valor da função em .
Então, calculamos:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função quando . Aqui, temos . Podemos simplificar o denominador:
Então, a função fica:

Passo 4

Com a função simplificada, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):

Passo 5

Para a função ser contínua em , os dois limites que calculamos devem ser iguais:
Vamos resolver essa equação para encontrar :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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