Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada da função
usando derivação logarítmica. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente o método de derivação logarítmica. Para isso, vamos precisar aplicar propriedades de logaritmos e regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação. Isso facilita a derivação, especialmente quando temos potências ou produtos complicados. Então, temos:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 5
Calculando as derivadas, temos:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Então:
Passo 6
Agora, queremos isolar
para encontrar a derivada. Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos na equação:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada da função
é
.
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, onde: $
$
$
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$
$
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.
Encontre a diferencial total
.