Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função y = x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada da função usando derivação logarítmica. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente o método de derivação logarítmica. Para isso, vamos precisar aplicar propriedades de logaritmos e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação. Isso facilita a derivação, especialmente quando temos potências ou produtos complicados. Então, temos:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 5

Calculando as derivadas, temos:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Então:

Passo 6

Agora, queremos isolar para encontrar a derivada. Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos na equação:

Passo 8

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada da função é .

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